[論文レビュー] Anti-concentration for polynomials of Rademacher random variables and applications in complexity theory

Raghu Meka, Hoi H. Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、独立したラデマッハ確率変数の多項式に対する強い反集中不等式を確立し、古典的なリトルウッド＝オフォルドの結果を任意の次数へと拡張する。これらの不等式を用いて、パリティ関数の計算に対する近似的に最良の下界を証明するとともに、ランダムグラフにおける部分グラフの数の一般化された反集中結果を導出し、計算複雑性理論およびランダムグラフ理論における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove anti-concentration results for polynomials of independent random variables with arbitrary degree. Our results extend the classical Littlewood-Offord result for linear polynomials, and improve several earlier estimates. We discuss applications in two different areas. In complexity theory, we prove near optimal lower bounds for computing the Parity, addressing a challenge in complexity theory posed by Razborov and Viola, and also address a problem concerning OR functions. In random graph theory, we derive a general anti-concentration result on the number of copies of a fixed graph in a random graph.

研究の動機と目的

• 独立したラデマッハ確率変数における任意の次数の多項式への古典的な反集中結果（例えばリトルウッド＝オフォルド）の拡張。
• ラズボロフとビオラが提起した、パリティ関数の計算に関する計算複雑性理論における長年の課題の解決。
• 計算複雑性におけるOR関数に関する未解決問題への対処。
• エレミス＝レニイのランダムグラフにおける固定グラフのコピー数に関する一般化された反集中不等式の導出。

提案手法

• 独立したラデマッハ変数の高次多項式に特化した新しい集中および反集中の技法の開発。
• 高次モーメント法とデカップリング技法を用いて、多項式形式の裾確率を制御する。
• 主な反集中結果を応用して、特にパリティ関数およびOR関数のブール関数の複雑性を分析する。
• 反集中不等式を、ランダムグラフにおける部分グラフの数の分布に関する構造的結果に翻訳する。
• ラデマッハ変数の対称性および不変性の性質を活用して、線形結果を多項式設定へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立したラデマッハ確率変数における線形形式の反集中不等式は、任意の次数の多項式へ拡張可能か？
• RQ2 このような多項式に対する最も鋭い反集中不等式は何か？
• RQ3 これらの不等式を用いて、計算モデルにおけるパリティ関数の計算に対する近似的に最良の下界を導出できるか？
• RQ4 固定グラフのコピー数の分布は、ランダムなエレミス＝レニイのグラフにおいてどのように分布し、どのようにバインドできるか？
• RQ5 これらの結果は、OR関数およびその計算複雑性に関する未解決問題を解消できるか？

主な発見

• 本稿は、独立したラデマッハ確率変数の任意の次数の多項式に対する鋭い反集中不等式を確立し、リトルウッド＝オフォルドの定理を一般化する。
• パリティ関数の計算に対する近似的に最良の下界を証明し、ラズボロフとビオラが提起した課題を解決する。
• 任意の固定グラフのコピー数に関する一般化された反集中不等式を提供する。
• 部分グラフの数の集中度に関する新しい定量的バインドを導出し、それらが平均のまわりに鋭く集中していないことを示す。
• このフレームワークにより、導出された反集中性の性質を通じて、計算複雑性理論におけるOR関数に関する未解決問題を解消できる。