[論文レビュー] Anti-holomorphic semi-invariant submersions from Kählerian manifolds

Hakan Mete Taştan|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ケーラー多様体からリーマン多様体への反正則半不変部分代数を調査し、関連する分布の可積分性と、不変垂直分布上でのO’Neillテンソル𝒯の消滅を証明する。調査では、調和性および全地平線性の必要十分条件を確立し、全空間、繊維、および底空間を結びつける明示的な曲率公式を導出し、非平坦な複素空間形式（c ≠ 0）からの適切な部分代数は存在しないことを証明する。

ABSTRACT

We study anti-holomorphic semi-invariant submersions from Kählerian manifolds onto Riemannian manifolds. We prove that all distributions which are involved in the definition of the submersion are integrable. We also prove that the O'Neill's tensor $\mathcal{T}$ vanishes on the invariant vertical distribution. We give necessary and sufficient conditions for totally geodesicness and harmonicity of this type submersions. Moreover, we investigate the several curvatures of the total manifold and fibers and give a characterization theorem.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体からリーマン多様体への反正則半不変部分代数の幾何的性質を調査すること。
• このような部分代数が調和的または全地平線的であるための条件を特定すること。
• 全空間、繊維、および底多様体を結びつける曲率公式を導出すること。
• 曲率不変量を用いて全多様体および繊維の幾何を特徴付けること。
• 非平坦な複素空間形式からの適切な部分代数の非存在結果を確立すること。

提案手法

• O’Neillのテンソル𝒯と𝒜を用いたリーマン部分代数理論を活用し、幾何的構造を分析する。
• ケーラー条件と反正則半不変分布の分解（𝒟と𝒟⊥）を適用する。
• O’Neillの曲率恒等式とケーラー条件を用いて曲率公式を導出する。
• O’Neillテンソル𝒯を用いて垂直曲率と可積分性の障害を測定する。
• Levi-Civita接続とプッシュバック接続を用いて第二基本形式を計算する。
• Lemma 5.5とTheorem 5.7を用いて、∇𝒯を含む曲率式を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反正則半不変部分代数の水平分布および垂直分布が可積分となる条件は何か？
• RQ2 O’Neillテンソル𝒯が不変垂直分布上で消えるのはいつか？
• RQ3 このような部分代数が調和的または全地平線的であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 全空間の断面曲率および正則二重断面曲率は、底空間および繊維のそれらとどのように関係するか？
• RQ5 非平坦な複素空間形式（c ≠ 0）からの適切な反正則半不変部分代数は存在可能か？

主な発見

• ケーラー多様体からの反正則半不変部分代数の水平分布および垂直分布は可積分である。
• O’Neillテンソル𝒯は不変垂直分布上で消える。これは、その垂直方向に曲率の障害がないことを示唆する。
• 部分代数が全地平線的であるための必要十分条件は、水平分布が全地平線的であり、かつ𝒯が水平分布上で消えることである。
• 部分代数が調和的であるための必要十分条件は、繊維の平均曲率ベクトルが消え、かつ水平分布が全地平線的であることである。
• 断面曲率の公式（7.6）–（7.11）は、全空間の曲率が底空間、繊維、および𝒯テンソルと明示的に関係することを示している。
• 非平坦な複素空間形式（c ≠ 0）からの適切な反正則半不変部分代数は存在しない。全空間は平坦（c = 0）でなければならない。