[論文レビュー] Anti-Invariant Riemannian Submersions from Cosymplectic Manifolds

Cengizhan Murathan, İrem Küpeli Erken|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コシンプレクティック多様体からリーマン多様体への反不変リーマン被覆を導入し、その幾何的性質を分析する。曲率テンソルと構造テンソル $Ϗ$ およびリーマン接続を用いて、このような被覆が全測地的および調和的であるための必要十分条件を確立する。

ABSTRACT

We introduce anti-invariant Riemannian submersions from cosymplectic manifolds onto Riemannian manifolds. We survey main results of anti-invariant Riemannian submersions defined on cosymplectic manifolds. We investigate necessary and sufficient condition for an anti-invariant Riemannian submersion to be totally geodesic and harmonic. We give examples of anti-invariant submersions such that characteristic vector field ξ is vertical or horizontal. Moreover we give decomposition theorems by using the existence of anti-invariant Riemannian submersions.

研究の動機と目的

• コシンプレクティック多様体からリーマン多様体への反不変リーマン被覆を定義し、その性質を調査すること。
• このような被覆が全測地的および調和的であるための必要十分条件を同定すること。
• 反不変被覆の存在が全コシンプレクティック多様体に課す幾何的制約を探索すること。
• 特徴的ベクトル場 $\xi$ が垂直または水平となるような明示的例を提示すること。
• 被覆構造およびその可積分性テンソルに基づく分解定理を確立すること。

提案手法

• ほぼ接触構造 $(\phi, \xi, \eta, g_M)$ を用いて、コシンプレクティック多様体からの反不変リーマン被覆を導入する。
• O'Neill の基本的テンソル $\mathcal{T}$ および $\mathcal{A}$ を適用し、被覆の第二基本形式および可積分性を分析する。
• 全多様体上のリーマン接続 $\nabla$ を用いて、$\phi$、$\mathcal{T}$、$\mathcal{A}$ を含む曲率および共変微分の恒等式を導出する。
• 水平分布を分解するために、条件 $\ker F_* \oplus \phi(\ker F_*) \oplus \{\xi\} = (\ker F_*)^\perp$ を適用する。
• 公式 $\mathcal{T}_V \phi W = \phi \mathcal{T}_V W$ を用いて、ほぼ複素構造下での垂直成分と水平成分の関係を確立する。
• トレース恒等式および $\mathcal{T}_V \phi W$ と $\mathcal{A}_X \phi W$ の消滅を用いて、調和的および全測地的条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コシンプレクティック多様体からの反不変リーマン被覆が全測地的であるのはどのような条件下か？
• RQ2 このような被覆がいつ調和的であり、それは $\phi \mathcal{T}_V$ のトレースとどのように関係するか？
• RQ3 $\xi$ が垂直または水平であるとき、分布 $\ker F_*$ の幾何的挙動はいかなるものか？
• RQ4 反不変被覆の存在から導ける分解定理は何か？
• RQ5 このような被覆において、全多様体 $M$ が局所的に積多様体であるのはいつか？

主な発見

• 反不変リーマン被覆が全測地的であるための必要十分条件は、すべての $W, V \in \Gamma(\ker F_*)$ および $X \in \Gamma((\ker F_*)^\perp)$ に対して $\mathcal{T}_W \phi V = 0$ かつ $\mathcal{A}_X \phi W = 0$ が成り立つことである。
• 被覆が調和的であるための必要十分条件は、すべての $V \in \Gamma(\ker F_*)$ に対して $\operatorname{Trace} \, \phi \mathcal{T}_V = 0$ が成り立つことである。
• 被覆が全測地的であるための必要十分条件は $\mathcal{T}_V \phi W = 0$ かつ $\mathcal{A}_X \phi W = 0$ が成り立つことであり、これは $M$ が局所的に積多様体であることをも意味する。
• すべての関連する接ベクトル場に対して $\mathcal{A}_X \phi Y = 0$ および $\mathcal{T}_V \phi W = 0$ が成り立つならば、$M$ は局所的に積多様体である。
• 条件 $g_N((\nabla F_*)(X, \phi Y), F_* \phi V) = -g_M(CY, \phi \mathcal{A}_X V)$ および $g_N((\nabla F_*)(V, \phi X), F_* \phi W) = 0$ は、局所的積構造を特徴付ける。
• 特徴的ベクトル場 $\xi$ が垂直または水平となるような例が構成され、このような被覆の存在が確認された。