[論文レビュー] Anti-self-dual orbifolds with cyclic quotient singularities

Jeff Viaclovsky, Michael T. Lock|arXiv (Cornell University)|May 17, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、巡回的商特異点をもつ4次元の自己双対でない軌道体に対する自己双対変形複体のインデックス定理を確立し、変形空間の次元の計算を可能にする。この結果を応用して、Eguchi-Hanson計量を除き、Calderbank-Singerのスカラー曲率がゼロのKähler的トーリックALE空間が非トーリックな自己双対変形を有することを示し、重み付き射影空間上の標準的Bochner-Kähler計量が非自明な自己双対変形を有することを示し、それにより新しい自己双対軌道体計量が得られる。

ABSTRACT

An index theorem for the anti-self-dual deformation complex on anti-self-dual orbifolds with cyclic quotient singularities is proved. We present two applications of this theorem. The first is to compute the dimension of the deformation space of the Calderbank-Singer scalar-flat Kahler toric ALE spaces. A corollary of this is that, except for the Eguchi-Hanson metric, all of these spaces admit non-toric anti-self-dual deformations, thus yielding many new examples of anti-self-dual ALE spaces. For our second application, we compute the dimension of the deformation space of the canonical Bochner-Kahler metric on any weighted projective space $\mathbb{CP}^2_{(r,q,p)}$ for relatively prime integers $1 < r < q < p$. A corollary of this is that, while these metrics are rigid as Bochner-Kahler metrics, infinitely many of these admit non-trival self-dual deformations, yielding a large class of new examples of self-dual orbifold metrics on certain weighted projective spaces.

研究の動機と目的

• 自己双対でない軌道体に巡回的商特異点をもつ自己双対変形複体のインデックス定理を構築すること。
• Calderbank-Singerのスカラー曲率がゼロのKähler的トーリックALE空間の変形空間次元を計算すること。
• 重み付き射影空間 $\mathbb{CP}^{2}_{(r,q,p)}$ 上の標準的Bochner-Kähler計量の変形空間次元を特定すること。
• 非自明な変形を用いて、自己双対および自己双対でない軌道体計量の新しい例を構成すること。

提案手法

• $\Gamma$-インデックス公式を用いて、巡回的群作用をもつ軌道体に対するAtiyah-Singerインデックス定理の補正項を導出する。
• $\mathbb{R}^4$ 上の $\Gamma_{(q,p)}$-作用に対応する $\Gamma$-インデックスを明示的に計算する。
• Calderbank-Singer ALE空間にインデックス公式を適用するため、その特異点における $\Gamma$-インデックスを計算する。
• インデックスを用いて $\dim H^1$ および $\dim H^0$ を計算し、Kuranishi写像を用いてモジュライ空間の次元を導出する。
• Einsteinスケーリングされた計量における一意的拡張性および減衰推定を用いて、$\overline{\mathbb{CP}}^2_{(r,q,p)}$ 上の標準的Bochner-Kähler計量に反転した向きをもつ場合に $H^2 = 0$ を証明する。
• 双対性および数論的恒等式を用いて、1つまたは2つの特異点をもつ場合のインデックスを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己双対でない軌道体に巡回的商特異点をもつ場合の、Atiyah-Singerインデックス定理に対する明示的な補正項は何か？
• RQ2 Calderbank-Singerのスカラー曲率がゼロのKähler的トーリックALE空間の変形空間次元は何か？
• RQ3 Eguchi-Hansonの場合を除き、これらのALE空間は非トーリックな自己双対変形を有するか？
• RQ4 重み付き射影空間 $\mathbb{CP}^{2}_{(r,q,p)}$ 上の標準的Bochner-Kähler計量の変形空間次元は何か？
• RQ5 これらの計量は非自明な自己双対変形を有するか？もし有するならば、その数はいくつか？

主な発見

• Calderbank-Singer ALE空間で $1 < r < q < p$ が互いに素である場合、$q = p-1$ のとき変形空間次元は $2$、$p = eq - (q-1)$ かつ $q \neq p-1$ のとき $-4\lfloor p/q \rfloor + 6$、それ以外の場合は $-4\lfloor p/q \rfloor + 4$ である。
• Eguchi-Hanson計量を除き、すべてのCalderbank-Singer ALE空間は非トーリックな自己双対変形を有し、それにより新しい自己双対ALE空間の例が得られる。
• $\overline{\mathbb{CP}}^2_{(1,q,p)}$ 上の標準的Bochner-Kähler計量について、$q = p-1$ のときインデックスは $2$、$q \neq p-1$ のとき $-4\lfloor p/q \rfloor + 6$、$r = q = 1$ のとき $-4p + 12$ である。
• これらの重み付き射影空間上の自己双対な共形構造のモジュライ空間は、$H^1 / H^0$ に局所的に同型であり、$H^0$ の作用に依存する次元をとる。
• $\overline{\mathbb{CP}}^2_{(r,q,p)}$ 上の標準的Bochner-Kähler計量に反転した向きをもつ場合、コホモロジー群 $H^2$ は消えるため、モジュライ空間は局所的に $H^1 / H^0$ である。
• 経験的証拠から、数論的条件 $H(r,q,p) = \{p/(qr)\} - \{q^{-1;r}p / r\}$ が正および負の値をほぼ同程度の頻度でとることが示唆される。