[論文レビュー] APMF < APSP? Gomory-Hu Tree for Unweighted Graphs in Almost-Quadratic Time.

Amir Abboud, Robert Krauthgamer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 59被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、重みなし単純グラフに対してGomory-Hu木を $ n^{2+o(1)} $ 時間で構築する確率的アルゴリズムを提示する。これは、All-Pairs Maximum-Flow（APMF）をAll-Pairs Shortest-Paths（APSP）より速く解く最初のサブキュービックアルゴリズムを達成する。主な革新は、確率的ピボット選択を置き換える動的ピボット技術であり、これにより近似二次時間計算量が達成され、重みなしグラフにおける最大フローの計算量に関する未解決の問題が解決される。

ABSTRACT

We design an $n^{2+o(1)}$-time algorithm that constructs a cut-equivalent (Gomory-Hu) tree of a simple graph on $n$ nodes. This bound is almost-optimal in terms of $n$, and it improves on the recent $ ilde{O}(n^{2.5})$ bound by the authors (STOC 2021), which was the first to break the cubic barrier. Consequently, the All-Pairs Maximum-Flow (APMF) problem has time complexity $n^{2+o(1)}$, and for the first time in history, this problem can be solved faster than All-Pairs Shortest Paths (APSP). We further observe that an almost-linear time algorithm (in terms of the number of edges $m$) is not possible without first obtaining a subcubic algorithm for multigraphs. Finally, we derandomize our algorithm, obtaining the first subcubic deterministic algorithm for Gomory-Hu Tree in simple graphs, showing that randomness is not necessary for beating the $n-1$ times max-flow bound from 1961. The upper bound is $ ilde{O}(n^{2\frac{2}{3}})$ and it would improve to $n^{2+o(1)}$ if there is a deterministic single-pair maximum-flow algorithm that is almost-linear. The key novelty is in using a ``dynamic pivot'' technique instead of the randomized pivot selection that was central in recent works.

研究の動機と目的

• 重みなしグラフにおけるAll-Pairs Maximum-Flow（APMF）とAll-Pairs Shortest-Paths（APSP）の計算量のギャップを解消すること。
• 単純で重みなしグラフにおけるGomory-Hu木の近似二次時間アルゴリズムを達成すること。
• サブキュービックGomory-Hu木構築においてランダムネスを排除し、単純グラフに対して最初の決定的サブキュービックアルゴリズムを提供すること。
• 多重量グラフへの還元を通じて障壁を特定することで、単純グラフにおけるGomory-Hu木の $ m^{1+o(1)} $ 時間アルゴリズムの可能性を検証すること。

提案手法

• 先行研究で用いられる確率的ピボット選択を置き換えるために、動的ピボット技術を導入し、グラフ分解に対するより良い制御を可能にする。
• 低導通性カットを効率的に特定し、木構築をガイドするために、頂点の需要を伴う拡張子分解をコアなプリミティブとして採用する。
• Gomory-Hu木構築を、$ n-1 $ 回の最大フロー計算ではなく、$ \tilde{O}(1) $ 回の最大フロー計算に還元し、$ n^{2+o(1)} $ 時間の辺を持つグラフ上で行う。
• エッジの分割による還元を用いて、多重量グラフから単純グラフへの新しい還元を提案し、条件付き下界を確立する。
• 確率的ピボット選択を決定的動的ピボット戦略に置き換えることでアルゴリズムを決定的化し、近最適な時間計算量を維持する。
• 単純グラフのカット同値木に関する洗練された構造的洞察を用いて、Gomory-Huフレームワークを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重みなし単純グラフにおいて、All-Pairs Maximum-Flow問題を $ n^{2+o(1)} $ 時間で解くことは可能か？
• RQ2 単純グラフにおいてGomory-Hu木を $ m^{1+o(1)} $ 時間で構築することは可能か？それとも根本的な障壁があるか？
• RQ3 Gomory-Hu木アルゴリズムにおける確率的ピボット選択を、効率性を損なわずに完全に決定的化できるか？
• RQ4 重みなし多重量グラフにおけるサブキュービックアルゴリズムの存在が、単純グラフにおけるサブキュービックアルゴリズムの存在を示唆するか？
• RQ5 重みなしグラフにおいて、All-Pairs Maximum-Flowの計算量は、All-Pairs Shortest-Pathsの計算量を厳密に下回るか？

主な発見

• 本稿では、$ n^{2+o(1)} $ 時間でGomory-Hu木を構築する確率的アルゴリズムを提示し、重みなしグラフにおけるAPMFがAPSPより速く解けるかどうかという未解決の問題を解決する。
• 同じ著者らが提唱した従来の $ \tilde{O}(n^{2.5}) $ の境界を改善し、近似二次時間計算量を達成する。
• 単純グラフにおけるGomory-Hu木の決定的サブキュービックアルゴリズムが達成され、$ n^3 $ の壁を破るためにランダムネスが必須でないことが示された。
• 単一ペア最大フローの決定的アルゴリズムがほぼ線形時間であると仮定すると、アルゴリズムの時間計算量は $ \tilde{O}(n^{2.66}) $ に抑えられ、そのようなアルゴリズムが存在するならば $ n^{2+o(1)} $ に改善される。
• 多重量グラフにおける $ n^{3-o(1)} $ 時間の下界が予想されるものとして、単純グラフに $ O(n) $ 時間の辺をもつGomory-Hu木構築に対して、条件付きで $ \Omega(n^{1.5}) $ の下界を確立した。
• この結果は、単純グラフにおける $ m^{1+o(1)} $ 時間のアルゴリズムが存在するためには、重みなし多重量グラフにおけるサブキュービックアルゴリズムが存在する必要があることを示唆している。