[論文レビュー] Apolar Ideal and Normal Bundle of Rational Curves

Alessandro Bernardi|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、射影空間内の有理曲線のヒルベルト多様体における部分多様体を、その正規束または制限接束の分裂型によって特徴付けるために、アポラリティ理論を用いる。有理ノーマル曲線を線型部分空間から射影する際の中心の幾何的条件（例えば、所定の次元の接線空間上にあること）を分析することで、これらの束の分裂型に対する明確な公式を確立する。

ABSTRACT

As in our previous work [1] we address the problem to determine the splitting of the normal bundle of rational curves. With apolarity theory we are able to characterize some particular subvarieties in some Hilbert scheme of rational curves, defined by the splitting type of the normal bundle and the restricted tangent bundle.

研究の動機と目的

• P^m 内の次数 n ≥ m の有理曲線を、その正規束および制限接束の分裂型によって分類すること。
• ヒルベルト多様体 H^{m,n} の、固定された正規束および制限接束の分裂型によってパラメータ付けられる部分多様体を研究すること。
• アポラリティ理論を用いて、射影中心の幾何的条件（例えば、接線空間上にあること）を、正規束および接束の分裂型に関連付けること。
• 射影中心のグラスマン多様体におけるこれらの部分多様体の余次元および既約性を特定すること。
• 射影中心に特定の幾何的仮定を置く場合の、正規束および制限接束の分裂型に対する明示的な公式を提示すること。

提案手法

• 線型部分空間 L ≅ P^{k-1} からの射影により、P^n 内の有理ノーマル曲線 C_n ⊂ P^n を P^{n-k} に射影し、π_L(C_n) ⊂ P^{n-k} を得る。
• アポラリティ理論を用いて、シジージモジュール Syz(J(ν_n)) および写像 (N^L_{n,k})^t を分析し、これにより射影された曲線の正規束を記述する。
• 行列 N^L_{n,k} のランクと構造を、条件 rank(N^L_{n,k}) = 3k - r を通じて、正規束の分裂型に関連付ける。
• 行列 N^L_{n,k} の核を分析し、特定の形式が曲線を零化することを検出することで、接線空間の存在と関連付ける。
• インシデント多様体を用いて、Gr(P^{k-1}, P^n) 内の射影中心 L が (k+1)-secant P^k 上にあるような部分集合の余次元を計算する。
• チアンティーニとチリベルティの非退化性に関する結果を応用し、余次元を計算し、部分集合の既約性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影中心 L ⊂ P^n が P^n 内の有理ノーマル曲線 C_n に対して、射影された有理曲線 π_L(C_n) ⊂ P^{n-k} の正規束が特定の分裂型をとるための幾何的条件は何か？
• RQ2 L が有理ノーマル曲線に対して (k+1)-secant または (k+2)-secant 空間上にある場合、正規束の分裂型にどのような影響を与えるか？
• RQ3 グラスマン多様体 Gr(P^{k-1}, P^n) 内で、制限接束 T P^{n-k}|_{π_L(C_n)} が与えられた分裂型をとるような中心 L の部分集合の余次元は何か？
• RQ4 アポラリティ理論を用いて、L の点の annihilating 形式に関する代数的条件によって、正規束の分裂型を特徴付けることができるか？
• RQ5 ヒルベルト多様体の部分多様体として、正規束または制限接束の固定された分裂型を持つ曲線をパラメータ化するものが、いつ既約的で、与えられた余次元を持つのか？

主な発見

• L ⊂ P^{k+1} が C_n ⊂ P^n に対して (k+2)-secant であり、かつ n−1 ≤ 3k ≤ 3(n−3) を満たすならば、射影された曲線 π_L(C_n) ⊂ P^{n-k} の正規束は O(n+2)^{n−k−2} ⊕ O(n+1+2k) に分裂する。
• L ⊂ P^k が C_n に対して (k+1)-secant であり、2k < n−1 ならば、制限接束 T P^{n-k}|_{π_L(C_n)} は O(n+1)^{n−k−1} ⊕ O(n+1+k) に分裂する。
• C_n に対してある (k+1)-secant P^k 上にある中心 L ⊂ P^n の集合は、Gr(P^{k−1}, P^n) 内で余次元 kn − k² − k − 1 をもち、この部分集合は、与えられた接束分裂型を持つ曲線をパラメータ化するヒルベルト多様体の既約部分多様体を支持する。
• L が (k+1)-secant P^k 上にあるとき、行列 N^L_{n,k} のランクは、rank(N^L_{n,k}) = 3k − r かつ 1 < r ≤ 2k−1 であるための必要十分条件は、正規束が O(n+3)^{2k−2r} ⊕ F' に分裂し、deg(F'^∨(n+2)) = −2k である。
• rank(N^L_{n,k}) = k+1 のとき、正規束は O(n+2+2k) に分裂する。これは、L が (k+2)-secant P^{k+1} 上にある場合に該当する。
• C_n に対してある (n−2)-secant P^{n−3} 上にある中心 L の部分集合の余次元は 3k − n + 1 であり、3k < n−1 のとき負になるため、この範囲では条件が一般的である。