[論文レビュー] Applications of the duality between the Complex Monge-Ampère Equation and the Hele-Shaw flow

Julius Ross, David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、同調的複素 Monge-Ampère 方程式（HCMA）と Hele-Shaw 流れの双対性の2つの応用を確立する。第一に、$\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ 上の滑らかな境界データを構成し、その弱解が指定された有限個の点、あるいは $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ の余次元1の部分集合に沿って2回微分可能でない例を示す。第二に、この双対性を用いて、単純に連結で滑らかに変化する領域の族を通じて、$\mathbb{P}^1$ および $\mathbb{D}$ 上のケーラー計量空間における滑らかな測地線の族を明示的に構成する。

ABSTRACT

We give two applications of the the duality between the complex Homogeneous Monge-Ampère Equation (HMAE) and the Hele-Shaw flow. First, we prove existence of smooth boundary data for which the weak solution to the Dirichlet problem for the HMAE over $\mathbb P^1 imes \overline{\mathbb D}$ is not twice differentiable at a given collection of points, and also examples that are not twice differentiable along a set of codimension one in $\mathbb{P}^1 imes \partial \mathbb{D}$. Second, we produce explicit families of smooth geodesic rays in the space of Kähler metrics on $\mathbb P^1$ and on the unit disc $\mathbb D$ that are constructed from an exhausting family of increasing smoothly varying simply connected domains.

研究の動機と目的

• 弱解が指定された有限個の点、または $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ の余次元1の部分集合に沿って、$\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ 上のHCMAに対する弱解が $C^2$ でないことを示す。
• Hele-Shaw流れとの双対性を用いて、$\mathbb{P}^1$ および $\mathbb{D}$ 上のケーラー計量空間における滑らかな測地線の族を明示的に構成する。
• 境界データと領域の変化を用いて、HCMA解における特異点の位置と構造を制御する手法を提供する。
• 孤立した特異点を超えて、Mabuchi空間におけるケーラー潜在関数の測地線セグメントおよび測地線における正則性の失敗を拡張して理解する。

提案手法

• 先行研究で確立されたHCMAとHele-Shaw流れの双対性を活用し、自由境界ダイナミクスを用いてHCMA解の特異点を分析する。
• 境界制約 $\Phi(z,\tau) = \phi(\tau z)$ を満たす $\omega$-擬上膜関数の包あらわしとして弱解 $\Phi$ を構成する。
• サブレベル集合 $\Omega_t = \{z : \psi_t(z) < \phi(z)\}$ を用いたHele-Shaw流れを定義し、ここで $\psi_t$ は原点における所定の Lelong 階数を持つ $\omega$-擬上膜関数の上界である。
• 楕円型正則性理論を適用し、時間に依存する領域 $\Omega_t$ の境界上での調和拡張の滑らかな依存性を示す。
• ラプラス方程式の解に対する $t$ における摂動展開を用い、一様楕円型性と $C^k$-有界性を用いて時間に関する滑らかさを証明する。
• 境界値問題の解の調和共役を用いて、$f_t: \mathbb{D} \to \Omega_t$ のリーマン写像を構成し、$t$ に依存して滑らかであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限個の点、または $\mathbb{P}^1 \setminus \{0\}$ 内の交わらない滑らかな曲線分 $S$ に対して、$\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ 上のHCMAに対して滑らかな境界データを構成し、弱解 $\Phi$ が $(\tau^{-1}z, \tau)$ の形の点（$z \in S$, $|\tau| = 1$）で2回微分可能でないようにできるか。
• RQ2 HCMA解の特異集合を $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ の余次元1の部分集合に含めることは可能か？ もし可能であれば、どのような境界データが必要か。
• RQ3 Hele-Shaw流れとの双対性を用いて、$\mathbb{P}^1$ および $\mathbb{D}$ 上のケーラー計量空間における滑らかな測地線の族を明示的に構成できるか。
• RQ4 複素平面上の単純に連結で滑らかに変化する領域 $\Omega_t$ の変化が、関連する調和関数および正則関数の正則性にどのように影響するか。

主な発見

• 任意の有限個の点、または $\mathbb{P}^1 \setminus \{0\}$ 内の交わらない滑らかな曲線分 $S$ に対して、弱解 $\Phi$ が $(\tau^{-1}z, \tau)$ の形の点（$z \in S$, $|\tau| = 1$）で2回微分可能でないような滑らかなケーラー潜在関数 $\phi$ が存在する。
• 本稿では、解 $\Phi$ が $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ の余次元1の集合に沿って $C^2$ でない例を構成し、特異点が必ずしも孤立的でないことを示している。
• 単純に連結で滑らかに変化する領域の族の増大族から、$\mathbb{P}^1$ および $\mathbb{D}$ 上のケーラー計量空間における滑らかな測地線の族を明示的に構成している。
• 原点を含み、$t$ に滑らかに依存する $\Omega_t$ に対して、$\Delta p_t = -\delta_0$ かつ $p_t|_{\partial\Omega_t} = 0$ を満たす圧力関数 $p_t$ は $t$ に滑らかに依存する。
• $\partial\Omega_t$ 上の勾配 $\nabla p_t$ は $\bigcup_{t} \partial\Omega_t$ 上の滑らかなベクトル場であり、測地線の構成に不可欠である。
• 境界値問題の解の調和共役を用いて構成されたリーマン写像 $f_t: \mathbb{D} \to \Omega_t$ は $t$ に滑らかに依存し、測地線の構成における滑らかさを保証する。