[論文レビュー] Applications of time-delayed backward stochastic differential equations to pricing, hedging and portfolio management

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|May 24, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、リパトレーティング・ポートフォリオや投資戦略の過去のパフォーマンスに依存する負債を有する金融および保険的文脈における価格設定、ヘッジ、ポートフォリオ管理のため、時間遅れ付き後向き確率微分方程式（BSDE）を導入する。本稿は、このような方程式が、古典的BSDEよりも資本保護型投資やパフォーマンス連動型ペイオフ（例：参加型契約や変額年金）をより正確にモデル化できることを示し、理論的および数値的枠組みを提供する。これにはピカード反復に基づくヒューリスティックなアルゴリズムとモンテカルロシミュレーションが含まれる。

ABSTRACT

In this paper we investigate novel applications of a new class of equations which we call time-delayed backward stochastic differential equations. Time-delayed BSDEs may arise in finance when we want to find an investment strategy and an investment portfolio which should replicate a liability or meet a target depending on the applied strategy or the past values of the portfolio. In this setting, a managed investment portfolio serves simultaneously as the underlying security on which the liability/target is contingent and as a replicating portfolio for that liability/target. This is usually the case for capital-protected investments and performance-linked pay-offs. We give examples of pricing, hedging and portfolio management problems (asset-liability management problems) which could be investigated in the framework of time-delayed BSDEs. Our motivation comes from life insurance and we focus on participating contracts and variable annuities. We derive the corresponding time-delayed BSDEs and solve them explicitly or at least provide hints how to solve them numerically. We give a financial interpretation of the theoretical fact that a time-delayed BSDE may not have a solution or may have multiple solutions.

研究の動機と目的

• リパトレーティング・ポートフォリオまたは投資戦略の過去のパフォーマンスに依存する負債を有する金融商品のモデリングにおけるギャップを埋めること。
• 生成関数と終端条件の両方に時間遅れを組み込んだことで、古典的BSDEを拡張し、自己参照的金融クオンティティのモデリングを可能にする。
• 資産負債管理、特に参加型契約や変額年金などの生命保険商品における、時間遅れ付きBSDEの最初の実用的応用を提供すること。
• 時間遅れ付きBSDEにおける解の非存在性または多値性という理論的問題の金融的解釈を提供すること。
• 標準的なソルバーが存在しない状況においても、ピカード反復とモンテカルロ法を用いたヒューリスティックな数値アルゴリズムを提案すること。

提案手法

• 解の過去の値（Y, Z）に依存する生成関数と終端条件を持つ時間遅れ付きBSDEを定式化し、経路依存的負債を捉える。
• 資本保護型投資や生命保険におけるパフォーマンス連動型ペイオフ（例：保証付き変額年金）をモデル化するために方程式を適用する。
• リプレーシング・ポートフォリオおよび戦略の動的変化を導出するため、リスク中立測度（ℚ）への確率測度の変更を用いる。
• 初期推定値から出発し、反復的に改善するピカード反復スキームを用いて解を近似する。
• 反復過程における条件付き期待値を推定するため、モンテカルロシミュレーションに基づく数値的手法を提案する。
• マコフ構造と最小二乗モンテカルロ法を用いて、前向き・後向き系における価値関数を推定するが、収束性は未解決の問題のままである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間遅れ付きBSDEは、リパトレーティング・ポートフォリオの過去のパフォーマンスに依存する金融商品をどのようにモデリングできるか？
• RQ2 時間遅れ付きBSDEが一意の解を有する理論的条件は何か？ そして、その条件は金融的実現可能性とどのように関係するか？
• RQ3 標準的なソルバーが存在しない状況で、時間遅れ付きBSDEをどのように数値的に解けるか？
• RQ4 時間遅れ付きBSDEにおける解の非存在性または多値性の金融的解釈は何か？
• RQ5 時間遅れ付きBSDEは、古典的BSDEに比べて参加型契約や変額年金のモデリングをどのように改善できるか？

主な発見

• パフォーマンス連動型引き出しを有する退職商品をモデリングする時間遅れ付きBSDE（7.2）は、γが小さいか時間ホライズンが短い場合、Y(0) ≥ 0 の条件下で一意の二階可積分解を有する。
• 解Yは正であることが保証され、これは、正の終端ペイオフと正のコスト・ストリームを有する負債がゼロにはなり得ないという経済的現実を反映している。
• 定数金利および決定的ボーナス構造といった特定のケースに対しては明示的解が導出可能であるが、一般の明示的解は依然として不明である。
• ピカード反復とモンテカルロ・シミュレーションに基づくヒューリスティックな数値アルゴリズムは、小さな時間区間では有望な性能を示すが、時間ホライズンが長くなると計算的に非現実的になる。
• 時間遅れ付きBSDEにおける複数解または解なしの状態は、自己参照的クオンティティにおける市場の不完全性やリスクの誤定価を示す金融的解釈を持つ。
• この枠組みは、古典的BSDEがポートフォリオとその負債の間のフィードバックループを捉えられていないことを明らかにしている。これは、構造化保険商品において極めて重要な要因である。