[論文レビュー] BSDEs with time-delayed generators of a moving average type with applications to pricing and utilities

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、解と制御過程の過去値の時間平均に依存する移動平均型の時変化付き生成関数を備えた後向きストキャスティック微分方程式（BSDEs）を導入する。明示的な解を導出し、動的金融意思決定における非単調的選好、特に後悔回避とボラティリティ回避のモデル化への応用を示している。

ABSTRACT

In this paper we consider backward stochastic differential equations with time-delayed generators of a moving average type. The classical framework with linear generators depending on $(Y(t),Z(t))$ is extended and we investigate linear generators depending on $(\frac{1}{t}\int_0^tY(s)ds, \frac{1}{t}\int_0^tZ(s)ds)$. We derive explicit solutions to the corresponding time-delayed BSDEs and we investigate in detail main properties of the solutions. An economic motivation for dealing with the BSDEs with the time-delayed generators of the moving average type is given. We argue that such equations may arise when we face the problem of dynamic modelling of non-monotone preferences. We model a disappointment effect under which the present pay-off is compared with the past expectations and a volatility aversion which causes the present pay-off to be penalized by the past exposures to the volatility risk.

研究の動機と目的

• 古典的BSDEsを、解と制御過程の過去の時間平均に依存する時変化付き生成関数を導入することで拡張すること。
• 線形生成関数の仮定の下で、これらの時変化付きBSDEsの明示的解を導出すること。
• このような方程式が、後悔効果やボラティリティ回避といった行動ファイナンス現象をモデル化する上で経済的根拠を持つことの説明。
• これらの遅延付きBSDEsの解の構造的および動的性質の調査。
• 非標準的投資家選好下でのプライシングおよびユーティリティ評価におけるモデルの関連性の提示。

提案手法

• 生成関数が $ \frac{1}{t}\int_0^t Y(s)ds $ および $ \frac{1}{t}\int_0^t Z(s)ds $ の時間平均過程に依存する時変化付きBSDEを定式化する。
• 確率積分の技法と線形SDE理論を用いて、システムの閉形式解を導出する。
• 生成関数の線形性を活用し、問題を確定的遅延微分方程式系の解法に還元する。
• 時間平均成分を分離する変換を導入し、得られるシステムを解析する。
• 伊藤の公式およびマルティンゲール表現定理を用いて、解構造の妥当性を検証する。
• 適切な可積分性および正則性条件の下で、解の存在および一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的BSDEsは、過去過程の移動平均に依存する時変化付き生成関数をどのように拡張できるか？
• RQ2 このような時変化付き線形生成関数を備えたBSDEsの明示的解の形は何か？
• RQ3 移動平均型の時変化付き生成関数が自然に生じる経済的文脈は何か？
• RQ4 これらのモデルは、後悔回避といった非単調的投資家選好をどのように捉えるか？
• RQ5 この枠組みにおいて、過去のボラティリティ露出が現在のユーティリティおよびプライシング意思決定に与える影響は何か？

主な発見

• 本稿は、$ Y(t) $ および $ Z(t) $ の移動平均に依存する時変化付き生成関数を備えたBSDEsの明示的閉形式解を導出している。
• 解は、線形仮定の下で解析的に解ける確定的遅延微分方程式系として特徴づけられる。
• モデルは、現在の報酬が過去の平均的期待に相対的に評価される後悔効果を捉えている。
• 過去のボラティリティリスク露出に基づいて現在の報酬をペナルティ処理することで、ボラティリティ回避を組み込んでいる。
• 時変化構造により、解は経路依存的であり、記憶効果を示す。これは、古典的マルコフ型BSDEsとは明確に異なる。
• 結果は、連続時間金融における非単調的選好の動的モデル化に、厳密な確率的基盤を提供する。