[論文レビュー] Approaches to Derivation of the Boltzmann Equation with Hard Sphere Collisions

V. I. Gerasimenko|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2013

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ボルツマン–グラードスケーリング極限において、硬い球体衝突を伴うボルツマン方程式を、下位の多粒子力学から厳密に導出する2つのアプローチを提示する。1つは、双対BBGKY階層を用いた周辺観測量によるものであり、もう1つはエンスコ方程式の非マルコフ型一般化を用いたものである。非摂動的解が一般化エンスコ方程式に従い、ボルツマン–グラード極限においてボルツマン方程式に収束することを確立し、初期の混合性の伝播を証明することで、スケーリング極限における相関の生成の不在を確認した。

ABSTRACT

In the paper the possible approaches to the rigorous derivation of the Boltzmann kinetic equation with hard sphere collisions from underlying dynamics are considered. In particular, a formalism for the description of the evolution of infinitely many hard spheres within the framework of marginal observables in the Boltzmann--Grad scaling limit is developed. Also we give consideration to one more approach of the description of the kinetic evolution of hard spheres in terms of a one-particle distribution function governed by the non-Markovian generalization of the Enskog equation and the Boltzmann--Grad asymptotic behavior of its non-perturbative solution is established.

研究の動機と目的

• 下位のハミルトニアン力学から、硬い球体衝突を伴うボルツマン運動方程式を厳密に導出すること。
• ボルツマン–グラードスケーリング極限において、無限個の硬い球体の運動を周辺観測量の形式で記述する力学的記述を構築すること。
• 一般化エンスコ方程式の非摂動的解のボルツマン–グラード漸近的挙動を確立すること。
• スケーリング極限における初期の混合性の伝播を証明し、相関の生成がないことを確認すること。
• 初期相関を含む系、特に凝縮状態を含む系に対しても、運動論理論の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• ボルツマン–グラードスケーリング極限において、無限個の硬い球体の進化を記述するための、二重BBGKY階層に基づく形式的記述。
• 周辺観測量の二重BBGKY階層のスケーリング極限として二重ボルツマン階層を導出すること。
• 1粒子分布関数を記述する非マルコフ型運動論方程式としての一般化エンスコ方程式の使用。
• 状態の周辺関数のボルツマン–グラード極限を解析するため、有界関数空間における弱収束の応用。
• 散乱累積演算子の弱極限を用いた、一般化エンスコ方程式のボルツマン–グラード極限定理の証明。
• 1次元硬い球体系の解析により、スケーリング極限における自明な力学的挙動（クヌーゼン流れ）を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周辺観測量を用いたボルツマン–グラード極限において、BBGKY階層から硬い球体衝突を伴うボルツマン方程式を厳密に導出可能か？
• RQ2 一般化エンスコ方程式の非摂動的解は、ボルツマン–グラードスケーリング極限においてボルツマン方程式に収束するか？
• RQ3 初期の混合性の性質はスケーリング極限でも保たれるか、すなわち、相関が非相関初期状態から生成されないか？
• RQ4 スケーリング極限において、一般化エンスコ方程式による運動論的記述と、標準的なBBGKY階層の手法との比較はいかがなっているか？
• RQ5 1次元の硬い球体系はボルツマン–グラード極限においてどのような挙動を示すのか、そしてなぜそれが自明なのか？

主な発見

• 周辺観測量の二重BBGKY階層のボルツマン–グラード極限は二重ボルツマン階層を導き、ボルツマン運動方程式への厳密な接続を確立する。
• 一般化エンスコ方程式の非摂動的解は、ボルツマン–グラード極限において、硬い球体衝突を伴うボルツマン方程式の解に弱収束する。
• 状態の周辺関数の極限が積の形 $ f_1(t,x_1) \cdots f_1(t,x_s) $ を満たすことで、初期の混合性の伝播が確認された。
• 散乱累積演算子の弱極限がスケーリング極限で消えることにより、ボルツマン方程式への収束が裏付けられた。
• 1次元系では、一般化エンスコ方程式の衝突積分がボルツマン–グラード極限で消え、自由分子運動（クヌーゼン流れ）となる。
• このアプローチにより、初期相関の取り扱いが可能となり、運動論的極限における凝縮状態の記述が可能になった。