[論文レビュー] Approximating classes of functions defined by operators of differentiation or operators of generalised translation by means of algebraic polynomials

Nimete Sh. Berisha, Faton M. Berısha|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2012

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非対称な一般化移動作用素を用いて定義された一般化された滑らかさモジュラスを介して、重み付き $L_p$ 空間における関数の最良近似に関する必要十分条件を確立する。主な貢献は、一般化微分作用素 $D_{x,\nu,\mu}$ による導関数の滑らかさ条件を用いて近似クラスを特徴づけることであり、近似誤差の減衰率が一般化モジュラス連続性で測定される高階導関数の滑らかさと関連していることを示している。

ABSTRACT

In this paper, approximation by means of algebraic polynomials of classes of functions defined by a generalised modulus of smoothness of operators of differentiation of these functions is considered. We give structural characteristics of classes of functions defined by the order of best approximation by algebraic polynomials.

研究の動機と目的

• 重み付き $L_p$ 空間 $[-1,1]$ における関数のクラスを、非対称な一般化移動作用素を介して定義された一般化モジュラス滑らかさによって特徴づけること。
• 次数 $\leq n-1$ の代数多項式によるそのような関数の最良近似に関する必要十分条件を確立すること。
• 最良近似誤差 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ の減衰率が、一般化微分作用素 $D_{x,\nu,\mu}$ による $2r$ 階導関数の滑らかさとどのように関連するかを特定すること。

提案手法

• ジャコビ重み付き空間に適した形で、$R = x\cos t - z\sqrt{1-x^2}\sin t$ を含むカーネルに基づく非対称一般化移動作用素 $\tilde{T}_t(f,x)$ を導入する。
• 重み付き $L_p$ ノルムにおける滑らかさを測るため、一般化モジュラス滑らかさ $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta} = \sup_{|t|\leq\delta} \|\tilde{T}_t f - f\|_{p,\alpha,\beta}$ を定義する。
• 関数の高階滑らかさを定義するために、一般化微分作用素 $D_{x,\nu,\mu} = (1-x^2)\frac{d^2}{dx^2} + (\mu - \nu - (\nu + \mu + 2)x)\frac{d}{dx}$ を用いる。
• ジャコビ重み付き $L_p$ ノルムにおける代数多項式の導関数の境界を活用することで、重み付き多項式近似理論を適用する。
• 最良近似誤差 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ の減衰率と、$\tilde{\omega}(D_{x,\nu,\mu}^r f, \delta)_{p,\alpha,\beta}$ で測定される $D_{x,\nu,\mu}^r f$ の滑らかさとの間の同値性を確立する。
• 滑らかさを定量化するために、部分加法性および二重化型条件を満たすモジュラス連続性型関数 $\varphi$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最良近似誤差 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ が $\varphi(1/n)$ のように減衰するための、一般化モジュラス滑らかさ $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta}$ の必要十分条件は何か？
• RQ2 一般化された意味での $2r$ 階導関数 $D_{x,\nu,\mu}^r f$ の滑らかさは、近似誤差 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ とどのように関連するか？
• RQ3 近似誤差と一般化滑らかさの同値性が成り立つパラメータ $p$, $\alpha$, $\beta$, $\nu$, $\mu$ の正確な範囲は何か？

主な発見

• 最良近似誤差 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ が $E_n(f)_{p,\alpha,\beta} \leq C_1 \varphi(1/n)$ を満たすことは、一般化モジュラス滑らかさ $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta} \leq C_2 \varphi(\delta)$ を満たすことと同値であり、$\varphi$ はモジュラス連続性型関数である。
• $r \geq 0$ に対して、減衰率 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta} \leq \frac{C_1}{n^{2r}} \varphi(1/n)$ は、$\tilde{\omega}(D_{x,\nu,\mu}^r f, \delta)_{p,\alpha,\beta} \leq C_2 \varphi(\delta)$ と同値であり、$D_{x,\nu,\mu}^0 f = f$ である。
• $\alpha$, $\beta$, $\nu$, $\mu$, $p$ に関する条件が明示的に与えられ、$1 < p < \infty$ の場合に $\alpha > 1 - \frac{1}{2p}$, $\beta > 1 - \frac{1}{2p}$ および $p = \infty$ の場合に $\alpha, \beta \geq 1$ という制約のもとで同値性が成立することが保証されている。
• 古典的ジャクソン型定理を、ジャコビ重み付き $L_p$ 空間に一般化し、非対称な一般化移動作用素を用いることで、より広範な枠組みを提供している。
• 同値性は $\varphi$ に対してやや弱い条件（二重化性および同等性）を満たす限り成り立ち、特徴づけの堅牢性を保証している。
• $\varphi(\delta) = \delta^\lambda$ で $2\lambda_0 < \lambda < 2$ の場合、$r=0$ の場合に既存の研究（例：[13]）で知られている鋭い推定値を回復・拡張している。