[論文レビュー] Approximating Nash Social Welfare under Submodular Valuations through (Un)Matchings

Jugal Garg, Pooja Kulkarni+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2019

Game Theory and Voting Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、加法的評価値をもつ非対称エージェントに対してはSMatch、劣微分的評価値に対してはRepReMatchという2つの新しい近似アルゴリズムを提示する。それぞれの近似要因は、アイテム数に依存しない$O(n)$および$O(n\log n)$を達成する。これらのアルゴリズムは、高価値アイテムのアンマッチングと再マッチングを含むグリーディな繰り返しマッチングフレームワークを用いる。さらに、SMatchは、1つのアイテムを除いて envy-free（EF1）であることを保証する。

ABSTRACT

We study the problem of approximating maximum Nash social welfare (NSW) when allocating m indivisible items among n asymmetric agents with submodular valuations. The NSW is a well-established notion of fairness and efficiency, defined as the weighted geometric mean of agents' valuations. For special cases of the problem with symmetric agents and additive(-like) valuation functions, approximation algorithms have been designed using approaches customized for these specific settings, and they fail to extend to more general settings. Hence, no approximation algorithm with factor independent of m is known either for asymmetric agents with additive valuations or for symmetric agents beyond additive(-like) valuations. In this paper, we extend our understanding of the NSW problem to far more general settings. Our main contribution is two approximation algorithms for asymmetric agents with additive and submodular valuations respectively. Both algorithms are simple to understand and involve non-trivial modifications of a greedy repeated matchings approach. Allocations of high valued items are done separately by un-matching certain items and re-matching them, by processes that are different in both algorithms. We show that these approaches achieve approximation factors of O(n) and O(n log n) for additive and submodular case respectively, which is independent of the number of items. For additive valuations, our algorithm outputs an allocation that also achieves the fairness property of envy-free up to one item (EF1). Furthermore, we show that the NSW problem under submodular valuations is strictly harder than all currently known settings with an e/(e-1) factor of the hardness of approximation, even for constantly many agents. For this case, we provide a different approximation algorithm that achieves a factor of e/(e-1), hence resolving it completely.

研究の動機と目的

• アイテム数に依存しない近似要因を達成する非対称エージェントと加法的評価値のための近似アルゴリズムの欠如に対処すること。
• 対称エージェントや加法的評価関数にとどまらない、ナッシュ社会的福祉（NSW）の理解を拡張すること。
• 一般の劣微分的評価値と非対称エージェントの重みを扱える、シンプルで効果的なアルゴリズムの設計。
• 劣微分的NSW問題におけるタイトな近似保証と難易度結果の確立。
• 非対称NSW近似の文脈において、EF1のような公平性特性を調査すること。

提案手法

• 加法的評価値のためのグリーディな繰り返しマッチングアルゴリズムSMatchを提案し、高価値アイテムのアンマッチングと再マッチングを含む。
• 繰り返しマッチングと動的再割り当てを用いる、劣微分的評価値に特化したSMatchの変種であるRepReMatchを導入する。
• エージェントの重み$\eta_i$を組み込んだ、NSWの重み付き幾何平均の定式化を目的関数として用いる。
• 各反復で最大重みマッチング手順を適用し、高価値の割り当てを優先しながら、公平性と効率性を維持する。
• 部分的な最適割り当てを是正し、全体のNSW近似を改善するために、アンマッチングステップを組み込む。
• アイテムの割り当て構造と評価の劣微分性の構造的解析を通じて、近似バウンドを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称エージェントと加法的評価値のための、アイテム数に依存しない近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 劣微分的評価値へのNSW近似の一般化は可能か？ そして、良好な近似要因を維持できるか？
• RQ3 非対称劣微分的NSW問題の本質的難易度は何か？ そして、タイトな近似アルゴリズムで解けるか？
• RQ4 SMatchアルゴリズムは、非対称な設定よりも対称な設定でより優れた性能を示すか？
• RQ5 非対称エージェントと加法的評価値の文脈において、EF1のような公平性保証はNSW近似で維持可能か？

主な発見

• SMatchは、アイテム数に依存しない$O(n)$の近似要因を、非対称エージェントと加法的評価値の設定で達成する。
• RepReMatchは、非対称エージェントと劣微分的評価値の設定で、$O(n\log n)$の近似要因を達成する。この要因もアイテム数$m$に依存しない。
• SMatchは、加法的評価値の設定において、EF1（1つのアイテムを除いて envy-free）という公平性特性を保証する。
• エージェント数が定数のとき、本稿は劣微分的NSWに対してタイトな$\frac{e}{e-1}$の近似アルゴリズムを提供し、既知の近似難易度と一致する。
• 劣微分的NSW問題が、これまでに研究されたすべての設定よりも厳密に難しいことが示され、近似難易度要因は$\frac{e}{e-1}$である。
• 例として、SMatchの近似比が最悪ケースで$2/n$に近づくことが示され、$O(n)$のバウンドが定数倍の意味でタイトであることが示唆される。