[論文レビュー] Approximating semigroups by using pseudospectra

E. B. Davies|ArXiv.org|Mar 19, 2003

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、高次に非自己共役な作用素によって生成される半群を近似するための擬スペクトル法を提案する。近似固有値と固有ベクトルを用いて安定かつ高精度な展開を構築する。標準的なスペクトル法に比べて、特に対流拡散作用素に対して優れた精度を達成する。真の固有ベクトルが著しく病的な条件を示すか基底を形成しない場合でも、密な近似固有値集合を活用することで実現される。

ABSTRACT

We study evolution equations with non-self-adjoint generators, for example the convection-diffusion equation. Spectral expansions are not a reliable method of solving such equations, because they are so ill-conditioned. We introduce a new method using pseusospectra to produce an approximated spectral expansion, and explain its theoretical status. We also give some simple numerical examples to show that it is much better conditioned.

研究の動機と目的

• 非自己共役作用素に標準的なスペクトル法を適用した場合に生じる不安定性および不正確さを解消すること。
• スペクトルが病的であるか、スペクトル射影が急激に増大する場合でも、$ T_t = e^{At} $ の半群を正確に計算できる数値的手法を開発すること。
• 古典的スペクトル理論では無視されがちな多数の近似固有値が、半群近似のための計算リソースとして有効に利用できることを示すこと。
• 特に高次元または対流拡散作用素に対して、$ L^2 $ における初期値問題を安定的かつ効率的に解くための方法を提供すること。

提案手法

• 単位ベクトル $ u_s $ と複素数 $ \lambda_s $ が $ \|Au_s - \lambda_s u_s\| < \varepsilon $ を満たすような族を用いて、$ L^2(S) $ からヒルベルト空間 $ \tilde{\cal H} $ への擬スペクトル変換 $ \tilde{\bf G} $ を定義する。
• $ B = \tilde{\bf G}^* \tilde{\bf G} $ を構築し、これは $ L^2(S) $ 上のヒルベルト＝シュミット作用素であるとし、可逆性を仮定して安定な再構成を可能にする。
• $ B^{-1} $ を用いて、$ \| \tilde{\bf G} \phi - f \| $ を最小化する最適な $ \phi = B^{-1} \tilde{\bf G}^* f $ を計算し、$ f \in \tilde{\cal H} $ の高精度な近似を可能にする。
• 発展方程式 $ f'(t) = A f(t) $ に本手法を適用する際、$ f_t = \tilde{\bf G} \phi_t $ を用い、係数 $ \phi_t $ を擬スペクトル展開により進化させる。
• 近似固有対 $ (\lambda_s, u_s) $ の有限集合 $ S $ を用い、$ \lambda_s $ を $ A $ の $ 2\varepsilon $-擬スペクトルに属させる。これにより、計算を効率化するための低次元部分空間を構成する。
• 対流拡散作用素に対して本手法を数値的に検証し、非滑らかな初期データや大きな $ b $ に対しても高い精度と安定性を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己共役作用素の多数の近似固有値を、半群 $ e^{At} $ の安定的かつ高精度な近似を構築するために効果的に利用できるか。
• RQ2 真の固有ベクトルが基底を形成しない、またはスペクトル射影が急激に増大する場合に、擬スペクトル法は古典的スペクトル展開に比べてどの程度精度が優れているか。
• RQ3 境界条件を満たさない初期データ、例えば不連続または滑らかでない関数に対して、擬スペクトル法はどの程度耐性を示すか。
• RQ4 特にスペクトルが著しく非正規である場合に、対流および拡散パラメータの値が異なる場合でも、本手法はロバストで正確に保たれるか。

主な発見

• N = 71 の場合、近似誤差 $ \|f - P_N f\| $ は $ 1.3 \times 10^{-14} $ に低下し、近似固有対の数に対する指数的収束が確認された。
• 擬スペクトル法により、最小値 $ \geq -3 \times 10^{-4} $ の非負の解 $ f_t $ が得られ、数値的安定性および物理的整合性が示された。
• 解の最大値 $ m(t) $ は $ t = 10 $ まで理論的漸近減衰 $ m_\infty = (1 + 4t/b)^{-1/2} $ と一致し、長期的挙動の正確さが確認された。
• 初期関数 $ g(x) = 1 $ の場合、$ [0, a - t] $ の特性関数の滑らかに近い近似が得られ、拡散のためのギブス現象は発生しなかった。
• パrameter $ b $ を 5 から 100 の広い範囲にわたり、本手法は精度を維持した。パrameterの変動に対するロバスト性が示された。
• 近似固有値 $ \mu_s $ の実部は $ -0.488 $ から $ -0.729 $ の間であり、特にゼロに近い密な分布が、本手法の精度の鍵であった。