[論文レビュー] Semigroup Growth Bounds

E. B. Davies|Research Portal (King's College London)|Feb 12, 2003

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非ヒルバート空間における自己共役生成作用素に対しても、スペクトルデータのみから半群ノルムの長期的成長を予測することはできないことを確立している。対数凹関数包絡線を用いた半群ノルムの正則化を導入し、擬スペクトル情報（解離作用素ノルム）がこの正則化ノルムの下界を与えるが、上界はそのようなデータからは得られないことを証明しており、安定性解析におけるスペクトル理論の根本的限界を示している。

ABSTRACT

We prove lower bounds on $||T_t||$, where $T_t$ is a one-parameter semigroup, starting from information on the resolvent norms, i.e. the pseudospectra. We provide a physically important example in which the growth of the semigroup norm cannot be derived from spectral information. The generator is a self-adjoint Schrödinger operator, but the semigroup growth is measured using the $L^1$ norm rather than the $L^2$ norm. Numerical confirmation of the results is provided.

研究の動機と目的

• 長期間における半群成長を予測するためのスペクトル絶対値分析が、特に非ヒルバート空間におけるBanach空間で不十分であることを示すこと。
• 自己共役生成作用素であっても、$ L^1 $-型ノルムを用いる場合、強い安定性原理（一様有界な指数的減衰）が成立しない可能性があることを示すこと。
• 短時間および長期的挙動をよりよく捉えるために、対数凹関数包絡線による半群ノルムの正則化を構築すること。
• 擬スペクトルデータ（解離作用素ノルム）がこの正則化ノルムの下界を与えるが、上界は得られないことを確立すること。
• 非自己共役作用素に対する安定性解析におけるスペクトルおよび擬スペクトル手法の限界を明確にすること。

提案手法

• 半群ノルム $ \|T_t\| $ の上側対数凹関数包絡線 $ N(t) $ を導入し、$ \nu(t) = \log N(t) $ が $ \log \|T_t\| $ を上から支配する最小の凹関数であるように定義する。
• 問題を正規化するため $ \omega_0 = 0 $ を仮定し、$ \mathrm{Spec}(A) \subseteq \{ z : \mathrm{Re}(z) \leq 0 \} $ かつすべての $ t \geq 0 $ に対して $ \|T_t\| \geq 1 $ となるようにする。
• 解離作用素 $ R_z = \int_0^\infty T_t e^{-zt} dt $ を用いて、半群とその擬スペクトル的挙動を関連付ける。
• ゲルファンド変換および最大可換部分代数の技術を用いて、$ f \in L^1(0,\infty) $ に対して $ X_f = \int_0^\infty f(t) T_t dt $ という積分作用素のスペクトルを分析する。
• 作用素 $ X_f $ のスペクトルを $ \{0\} \cup \{ \hat{f}(\lambda) : \lambda \in \mathrm{Spec}(A) \} $ と導出する。ここで $ \hat{f}(z) = \int_0^\infty f(t) e^{zt} dt $ である。
• 任意の $ 0 < \sigma < 1 $ に対して、$ s = 0 $、$ \omega_0 = 1 $、$ \omega_1 = \sigma $ となる一パラメータ半群の具体例を構成し、成長バウンドがスペクトルデータに依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成作用素が自己共役であっても、ノルムがヒルバート空間でない場合、スペクトルから半群の長期的成長を予測できるか？
• RQ2 擬スペクトルデータ（解離作用素ノルム）は、特に非ヒルバート空間における半群の成長をどの程度制限できるか？
• RQ3 解離作用素ノルム情報が正確であっても、半群ノルムの上界を導出することは可能か？
• RQ4 対数凹関数包絡線による正則化ノルム $ N(t) $ は、元のノルム $ \|T_t\| $ よりも半群挙動の分析をどのように改善するか？
• RQ5 成長バウンド $ \omega_0 $、$ \omega_1 $ とスペクトル的・擬スペクトル的絶対値 $ s $、$ s_0 $ の関係は何か？また、それらはどのように異なるか？

主な発見

• 任意の $ 0 < \sigma < 1 $ に対して、ヒルバート空間上に $ s = 0 $、$ \omega_0 = 1 $、$ \omega_1 = \sigma $ となる一パラメータ半群が存在し、成長バウンドがスペクトルによって決定されないことを示している。
• 積分作用素 $ X_f = \int_0^\infty f(t) T_t dt $ のスペクトルは $ \{0\} \cup \{ \hat{f}(\lambda) : \lambda \in \mathrm{Spec}(A) \} $ である。ここで $ \hat{f}(z) = \int_0^\infty f(t) e^{zt} dt $ であり、ゲルファンド理論および最大可換部分代数を用いて導出された結果である。
• 擬スペクトルデータ（解離作用素ノルム）を用いて正則化ノルム $ N(t) $ の下界を導出可能であるが、そのような下界を逆転して $ N(t) $ の上界を得ることはできず、正確な数値情報が与えられても同様である。
• 自己共役生成作用素であっても、$ L^1 $-型ノルム上で作用する場合、強い安定性原理は一般には成立しない。これは生成作用素が自己共役であり、スペクトルが虚軸上にあるにもかかわらず成り立たない。
• $ \omega_0 = s_0 $ というヒルバート空間で成り立つ恒等式は一般のBanach空間に拡張されず、$ \|T_t\| $ の長期的挙動はスペクトル解析が予測するものと大きく異なることがある。
• スペクトル絶対値が成長を決定するという考えに反する反例を構成し、すべての固有値が純虚数であっても指数的成長が生じ得ることを示している。これはZabczykの例をシュレーディンガー型半群へ拡張したものである。