[論文レビュー] Approximating the MaxCover Problem with Bounded Frequencies in FPT Time

Piotr Skowron, Piotr Faliszewski|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、要因頻度が有界な場合のMaxCover問題に対する固定パラメータ tractable (FPT) 近似スキームを提示し、多項式時間の限界を超えて改善された近似比を達成する。各要素が高々p個の集合に現れる制約下で、被覆される要素を最大化するFPT β-近似アルゴリズムを導入し、未被覆要素を最小化する確率的FPTスキームを提示。従来の研究と比較して、特に指数時間設定における正確なアルゴリズムと組み合わせた場合、より強い保証を得られる。

ABSTRACT

We study approximation algorithms for several variants of the MaxCover problem, with the focus on algorithms that run in FPT time. In the MaxCover problem we are given a set N of elements, a family S of subsets of N, and an integer K. The goal is to find up to K sets from S that jointly cover (i.e., include) as many elements as possible. This problem is well-known to be NP-hard and, under standard complexity-theoretic assumptions, the best possible polynomial-time approximation algorithm has approximation ratio (1 - 1/e). We first consider a variant of MaxCover with bounded element frequencies, i.e., a variant where there is a constant p such that each element belongs to at most p sets in S. For this case we show that there is an FPT approximation scheme (i.e., for each B there is a B-approximation algorithm running in FPT time) for the problem of maximizing the number of covered elements, and a randomized FPT approximation scheme for the problem of minimizing the number of elements left uncovered (we take K to be the parameter). Then, for the case where there is a constant p such that each element belongs to at least p sets from S, we show that the standard greedy approximation algorithm achieves approximation ratio exactly (1-e^{-max(pK/|S|, 1)}). We conclude by considering an unrestricted variant of MaxCover, and show approximation algorithms that run in exponential time and combine an exact algorithm with a greedy approximation. Some of our results improve currently known results for MaxVertexCover.

研究の動機と目的

• 各要素が高々p個の集合に現れる制約下でのMaxCover問題に対するFPT近似アルゴリズムの設計。
• 同じ頻度制約下で未被覆要素数を最小化するための確率的FPT近似スキームの開発。
• 下限付き頻度下での標準的グリーディアルゴリズムの性能を分析し、一般ケースと比較して改善された近似比を示す。
• 制限なしMaxCover問題に対する、正確な手法とグリーディ手法を組み合わせたハイブリッド指数時間近似アルゴリズムの提案。これにより、実行時間と近似品質の滑らかなトレードオフが可能になる。

提案手法

• 解に許容される集合数Kをパrameterとして用いるFPTフレームワークを活用し、KにのみFPTの成長を示す指数時間アルゴリズムを達成する。
• Guoらの手法にインspiredされた動的計画法と分岐戦略を適用し、要因頻度が有界なMaxCover問題のW[1]-完全性を示す。
• 被覆範囲の限界的増加量を最大化する集合を反復的に選択する戦略を用いて、要因頻度が有界なMaxCover問題に対するβ-近似アルゴリズムを設計。
• FPT時間内に高い確率で解をサンプリング・検証する戦略を用いて、要因頻度が有界なMinNonCovered問題に対する確率的FPT近似スキームを導入。
• ブルートフォースによる正確な探索とグリーディ近似をハイブリッドアルゴリズムで統合し、部分解が生成された後にグリーディフェーズを適用。
• 正確に解く部分とグリーディに処理する部分の割合を変化させることで、実行時間と近似比のトレードオフを分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各要素が高々p個の集合に現れる場合に、MaxCover問題に対するFPT近似スキームを設計できるか？
• RQ2 要因頻度が有界な条件下で、未被覆要素数を最小化するための確率的FPT近似スキームは存在するか？
• RQ3 各要素が少なくともp個の集合に現れる場合、標準的グリーディアルゴリズムはどの程度の近似比を達成できるか？
• RQ4 正確な手法とグリーディ手法を指数時間設定でどのように組み合わせ、実行時間と近似品質の滑らかなトレードオフを達成できるか？
• RQ5 正確なフェーズとグリーディフェーズの適用順序を再考することで、既存のアルゴリズムの近似保証を向上させられるか？

主な発見

• 要因頻度が有界なMaxCover問題に対して、β ∈ (0,1) であるFPT β-近似アルゴリズムが存在し、実行時間はKとβにのみ依存する。
• 要因頻度が有界なMinNonCovered問題に対して、確率的に1−ε以上でβ-近似を達成するFPT時間内に動作する確率的FPT近似スキームを提示。
• 各要素が少なくともp個の集合に現れる場合、標準的グリーディアルゴリズムは正確に1−e−max(pK/‖S‖,1)の近似比を達成し、一般ケースの(1−1/e)比よりも向上する。
• ブルートフォースによる正確な探索とグリーディ近似を組み合わせたハイブリッドアルゴリズムは、多項式領域の正確なソルバーを用いる場合、先行研究（例：CroceとPaschos [7]）のスキームよりも優れた近似比を達成する。
• 同じ実行時間において、正確なアルゴリズムが最適な部分解を発見しない場合に特に顕著に、提案されたアルゴリズム5はCroceとPaschosのアルゴリズムを近似比の面で上回る。
• 要因頻度が有界なMaxCover問題はW[1]-完全である一方、制限なしバージョンはW[2]-ハードかつW[P]に属し、頻度制約の有無に応じた明確な複雑さの差が示される。