[論文レビュー] Approximating the Permanent via Nonabelian Determinants

Cristopher Moore, Alexander Russell|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 7被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、非可換代数、特に d×d 行列代数と群代数を用いた、{0,1} 行列のパーマネントの代数的近似法を調査する。非対称化された行列式では、臨界比が (1+O(1/d))^n となるが、対称化された行列式推定法では、臨界比が Ω(2^n / n^O(d)) となることが示され、この手法を用いた多項式時間近似スキームには顕著な障害があることが示唆される。

ABSTRACT

Celebrated work of Jerrum, Sinclair, and Vigoda has established that the permanent of a {0,1} matrix can be approximated in randomized polynomial time by using a rapidly mixing Markov chain. A separate strand of the literature has pursued the possibility of an alternate, purely algebraic, polynomial-time approximation scheme. These schemes work by replacing each 1 with a random element of an algebra A, and considering the determinant of the resulting matrix. When A is noncommutative, this determinant can be defined in several ways. We show that for estimators based on the conventional determinant, the critical ratio of the second moment to the square of the first--and therefore the number of trials we need to obtain a good estimate of the permanent--is (1 + O(1/d))^n when A is the algebra of d by d matrices. These results can be extended to group algebras, and semi-simple algebras in general. We also study the symmetrized determinant of Barvinok, showing that the resulting estimator has small variance when d is large enough. However, for constant d--the only case in which an efficient algorithm is known--we show that the critical ratio exceeds 2^{n} / n^{O(d)}. Thus our results do not provide a new polynomial-time approximation scheme for the permanent. Indeed, they suggest that the algebraic approach to approximating the permanent faces significant obstacles. We obtain these results using diagrammatic techniques in which we express matrix products as contractions of tensor products. When these matrices are random, in either the Haar measure or the Gaussian measure, we can evaluate the trace of these products in terms of the cycle structure of a suitably random permutation. In the symmetrized case, our estimates are then derived by a connection with the character theory of the symmetric group.

研究の動機と目的

• 非可換行列式に基づく代数的推定法を用いたパーマネントの多項式時間近似スキームの実現可能性を評価すること。
• 行列式に基づく推定法の分散を、非可換代数からのランダム要素に行列要素を置き換えた場合に分析すること。
• 臨界比（2次モーメントを第一モーメントの平方で割ったもの）の観点から、非対称化と対称化された行列式の性能を比較すること。
• 代数的手法が、特に代数次元 d が小さい場合に、部分指数的または多項式時間のパーマネント近似を達成できるかどうかを特定すること。
• 群代数と半単純代数が、パーマネントの低分散推定法の構築において果たす役割を調査すること。

提案手法

• 行列積をテンソル積の縮約として表現する図式的手法を用い、ランダム置換のサイクル構造を介してトレースの評価を可能にする。
• 非可換代数におけるランダム行列にハール測度とガウス測度を適用し、置換の組合せ的性質を用いて積の期待値を計算する。
• 対称化された行列式推定法の分析に、対称群のキャラクター理論を用いる。特に d が大きい場合に注目する。
• 2種類の推定法を定義する：通常の行列式（非対称化）とバーヴィノクの対称化された行列式。両者とも、ランダム行列への代入によりパーマネントを推定するために用いられる。
• トレースとノルムに基づくモーメント解析を用いて、両推定法の臨界比 E[X²]/E[X]² を計算し、図式的リワイヤリングによりフロベニウスノルム推定法とトレースの平方推定法との関係を示す。
• テンソル縮約図のループ構造を分析することで臨界比の境界を導出し、リワイヤリング1回あたりのループ数の変化が1以下であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換代数上の行列式を用いた {0,1} 行列のパーマネントは、多項式時間で近似可能か？
• RQ2 特に d=O(1) と d が増加する場合に、行列式に基づく推定法の臨界比は代数次元 d に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 バーヴィノクが提唱した対称化された行列式推定法は、パーマネントの多項式時間近似スキームを提供するか？
• RQ4 行列要素が d×d 行列代数または群代数から抽出された場合、代数的推定法の分散挙動はいかなるものか？
• RQ5 図式的手法と群論的手法を用いて、行列式に基づく推定法の高次モーメントをバウンドし、測度集中を確立できるか？

主な発見

• d×d 行列代数上での非対称化行列式推定法において、臨界比は (1+O(1/d))^n であり、d が増加するにつれて部分指数的となる。
• d=O(1) の場合の対称化行列式推定法では、臨界比が Ω(2^n / n^O(d)) であることが示され、推定法が効率的に計算可能であっても指数的分散を示す。
• d が定数のとき、対称化推定法の臨界比は 2^n / n^O(d) を超えるため、このような推定法は多項式時間近似スキームには不適切である。
• フロベニウスノルム推定法 X_Frob のモーメントは、トレースの平方推定法のモーメントと d^2 の要因内で有界であり、最悪ケースの境界下で類似した分散スケーリングを示す。
• 図式的リワイヤリング技法により、トレースの平方からフロベニウスノルムへの変更が1回の移動あたりのループ数を1つ以内に変化させることを示し、モーメント境界における d^2 要因の正当化がなされる。
• 結果から、パーマネントの代数的近似には根本的な障害があり、特に d が定数のとき顕著であり、より良い集中性を得るためには高次元代数が必要であると示唆される。