[論文レビュー] Approximating (Unweighted) Tree Augmentation via Lift-and-Project, Part II

Joe Cheriyan, Zhihan Gao|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形計画法の緩和に対するラッセール階層を用いた、重みなし木拡張問題（TAP）の組み合わせ的多項式時間アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、ラッセールの緩和から導かれる潜在関数を用い、分数解の構造的分解を基に整数性比が有界であることを証明する。最終的に、整数最適解に対して $rac{3}{2}$-近似を得る。

ABSTRACT

In Part II, we study the unweighted Tree Augmentation Problem (TAP) via the Lasserre (Sum~of~Squares) system. We prove that the integrality ratio of an SDP relaxation (the Lasserre tightening of an LP relaxation) is $\leq \frac{3}{2}+ε$, where $ε>0$ can be any small constant. We obtain this result by designing a polynomial-time algorithm for TAP that achieves an approximation guarantee of ($\frac32+ε$) relative to the SDP relaxation. The algorithm is combinatorial and does not solve the SDP relaxation, but our analysis relies on the SDP relaxation. We generalize the combinatorial analysis of integral solutions from the previous literature to fractional solutions by identifying some properties of fractional solutions of the Lasserre system via the decomposition result of Karlin, Mathieu and Nguyen (IPCO 2011).

研究の動機と目的

• 重みなし木拡張問題（TAP）のSDP緩和の整数性比と、最高の既知の近似比の間のギャップを埋めること。
• ラッセールSDP緩和に対して $rac{3}{2} + ho$ の近似保証を達成する組み合わせ的アルゴリズムを設計すること。
• 任意の $ ho > 0$ に対して、標準的なLP緩和のラッセールの緩和の整数性比が $rac{3}{2} + ho$ 以下であることを証明すること。
• アルゴリズムがSDPを直接解かなくても、ラッセール階層から導かれる潜在関数を用いて性能を有界にできることを確立すること。

提案手法

• 木の辺をリンクで被覆する手順を、根に向かって順次実行する貪欲な葉から根への反復的手順を用いる。
• 初期のLP緩和のラッセールの緩和に基づく潜在関数を定義し、得られる解のサイズを上界付ける。
• Karlin, Mathieu, and Nguyen (2011) の分解定理を活用し、ラッセール系の分数解を局所的に整数解として特徴付ける。
• 具体的には、不足している3葉および4葉の木（deficient 3- and 4-leaf trees）という組み合わせ的障害要因を、ラッチ縮約（latch contractions）とMリンク更新（M-link updates）により特定・解消し、妥当性とコストの有界性を維持する。
• 重要な構造的結果として、特定の性質を満たす半閉じた木（semiclosed tree）は、その潜在関数の値と等しいサイズの被覆を有する。この性質により、帰納的コスト会計が可能になる。
• 本手法により、解のサイズが潜在関数の値以下であることを証明し、その値がSDP緩和値の $rac{3}{2} + ho$ 倍以下であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ ho > 0$ に対して、TAPのLP緩和にラッセール階層を適用した際の整数性比が $rac{3}{2} + ho$ 未満に抑えられるか。
• RQ2 直接SDPを解かずに、ラッセールSDP緩和に対して $rac{3}{2} + ho$ の近似比を達成できる組み合わせ的アルゴリズムが存在するか。
• RQ3 ラッセール系における分数解のどのような構造的性質が、潜在関数解析による有界な近似保証を可能にするか。
• RQ4 アルゴリズムのSDP緩和に対する性能が、整数最適解に対する $rac{3}{2}$-近似を示唆するか。
• RQ5 潜在関数が、分数解の値に基づいて貪欲なリンク選択プロセスのコストを有界にできるか。

主な発見

• 任意の $ ho > 0$ に対して、TAPの標準的LP緩和のラッセールの緩和の整数性比は $rac{3}{2} + ho$ 以下である。これは、緩和の強さに対する強い上限を示す。
• 多項式時間の組み合わせ的アルゴリズムが、ラッセールSDP緩和に対して $rac{3}{2} + ho$ の近似比を達成する。
• アルゴリズムの解のサイズは、ラッセール階層から導かれる潜在関数によって有界にされ、その値はSDP緩和値の $rac{3}{2} + ho$ 倍以下である。
• ラッセール階層の最終段階 $t = |E|$ において、潜在関数の値はSDP緩和値の $rac{3}{2}$ 倍以下である。これは、整数最適解に対する $rac{3}{2}$-近似を示唆する。
• 標準的なデータ構造を用いる場合、アルゴリズムは $O(|V|^3 + |V|^2 m_0^5)$ 時間で実装可能であり、$m_0$ はリンク数を表す。
• 系8.10は、アルゴリズムが整数最適解のサイズの $rac{3}{2}$ 倍以内の解を返すことを確立する。