[論文レビュー] Approximation Algorithms for Socially Fair Clustering

Yury Makarychev, Ali Vakilian|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2021

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ひとこと要約

本稿では、社会的公平性を考慮したℓ_p-クラスタリング問題に対する改善された(e^{O(p)}\frac{\log\ell}{\log\log\ell})-近似アルゴリズムを提示する。この問題は、すべてのデモグラフィックグループにおけるクラスタリングコストの最大値を最小化することを目的としている。自然なLP緩和の整数性ギャップが\Theta(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})であるように強化されたLP緩和を導入することで、nに依存しない最初の近似保証が得られ、定数pに対して定数因子のオーダーで最適であることが示され、従来のO(\ell)-近似よりも顕著に向上する。

ABSTRACT

We present an $(e^{O(p)} \frac{\log \ell}{\log\log\ell})$-approximation algorithm for socially fair clustering with the $\ell_p$-objective. In this problem, we are given a set of points in a metric space. Each point belongs to one (or several) of $\ell$ groups. The goal is to find a $k$-medians, $k$-means, or, more generally, $\ell_p$-clustering that is simultaneously good for all of the groups. More precisely, we need to find a set of $k$ centers $C$ so as to minimize the maximum over all groups $j$ of $\sum_{u ext{ in group }j} d(u,C)^p$. The socially fair clustering problem was independently proposed by Ghadiri, Samadi, and Vempala [2021] and Abbasi, Bhaskara, and Venkatasubramanian [2021]. Our algorithm improves and generalizes their $O(\ell)$-approximation algorithms for the problem. The natural LP relaxation for the problem has an integrality gap of $Ω(\ell)$. In order to obtain our result, we introduce a strengthened LP relaxation and show that it has an integrality gap of $Θ(\frac{\log \ell}{\log\log\ell})$ for a fixed $p$. Additionally, we present a bicriteria approximation algorithm, which generalizes the bicriteria approximation of Abbasi et al. [2021].

研究の動機と目的

• 複数のデモグラフィックグループにわたる公平性を考慮したクラスタリングの課題に対処すること。標準的なアルゴリズムでは、特定のグループのコストが不均等に増加する可能性がある。
• すべてのグループにおいて性能がバランス取れる社会的公平性を考慮した\ell_p-クラスタリングのための効率的な近似アルゴリズムを設計すること。
• 自然なLP緩和の\Omega(\ell)の整数性ギャップを克服するため、強化されたLP定式化を導入すること。
• 点数nに依存しない近似比であり、定数pに対して定数因子のオーダーで最適な近似比を達成すること。
• 従来の公平k-メディアンおよびk-ミーンズの研究を、一般の\ell_p-目的関数および任意の重みに拡張すること。

提案手法

• グループ固有のコスト制約と分数的センター開設変数を組み込んだ、社会的公平性を考慮した\ell_p-クラスタリングのための強化されたLP緩和を導入する。
• Charikarら(2002)のフレームワークを用いて、問題を、各点が少なくとも1-\gammaの割合で分数的に開設されている等価なインスタンスに変換する。
• 濃度不等式を活用して、コストの偏差を制御するように、分数的LP解を整数解のk個のセンターに独立的にサンプリングして丸める。
• Bennettの不等式を用いて、丸めプロセスにおける尾部確率を制御し、グループコストの偏差が有界であることを保証する。
• 中心数が(1/(1-\gamma))-倍増加する、コストがe^{O(p)}/\gamma-倍増加するバイクリテリア近似アルゴリズムを設計し、従来のバイクリテリア境界を改善する。
• 強化されたLPの整数性ギャップが、固定されたpに対して\Theta(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 社会的公平性を考慮した\ell_p-クラスタリングに対して、nに依存せず、\ellに関しては非線形（sublinear）な近似比を達成できる近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 社会的公平クラスタリングのための自然なLP緩和の最適な整数性ギャップは何か？また、強化によって改善可能か？
• RQ3 従来のk-メディアンおよびk-ミーンズのためのO(\ell)-近似アルゴリズムを、一般のpおよび重み付きグループに一般化できるか？
• RQ4 中心数とコストのバランスを取るバイクリテリア近似を、改善された近似要因で達成できるか？
• RQ5 k-メディアンにおける\Omega(\log\ell / \log\log\ell)の下界結果は、p > 1の一般の\ell_p-クラスタリングに拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、社会的公平性を考慮した\ell_p-クラスタリングに対する(e^{O(p)}\frac{\log\ell}{\log\log\ell})-近似アルゴリズムを提示する。これは、従来のO(\ell)-近似よりも顕著に向上している。
• 強化されたLP緩和は、固定されたpに対して\Theta(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})の整数性ギャップを持つ。これは、既知の下界結果と一致する。
• 社会的公平k-ミーンズ（p=2）に対しては、O(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})-近似が達成され、従来のO(\ell)-境界を改善する。
• 社会的公平k-メディアン（p=1）に対しては、O(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})-近似が達成され、AnthonyらのO(\log n + \log \ell)-境界を改善する。
• バイクリテリア近似アルゴリズムは、(e^{O(p)}/\gamma, 1/(1-\gamma))-近似を達成し、従来のバイクリテリア結果を一般化・改善する。
• 定数pに対して、アルゴリズムの近似保証は定数因子のオーダーで最適であり、p=O(1)に対して\Omega(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})-下界が成立するためである。