[論文レビュー] Approximation of functions with small jump sets and existence of strong minimizers of Griffith's energy

Antonin Chambolle, Sergio Conti+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、ジャンプ集合が小さい関数について、任意次元におけるGSBD関数に対する次元に依存しない近似結果を確立し、それらがわずかに小さい領域内で滑らかな関数によってよく近似できることを証明する。これにより、線形化された弾性理論におけるグリフィスエネルギーの強い最小化子の存在が、あらゆる次元で初めて示され、局所最小化子のジャンプ集合を閉じることで、従来の2次元結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove that special functions of bounded deformation with small jump set are close in energy to functions which are smooth in a slightly smaller domain. This permits to generalize the decay estimate by De Giorgi, Carriero, and Leaci to the linearized context in dimension n and to establish the closedness of the jump set for local minimizers of the Griffith energy.

研究の動機と目的

• 任意の次元におけるジャンプ集合が小さいGSBD関数に対する一般化された近似結果を確立すること。
• グリフィスエネルギーの強い最小化子の存在を2次元を超えて拡張すること。
• GSBD枠組みにおいて、局所最小化子のジャンプ集合を閉じることで、それが真に閉じた(n−1)次元集合上で不連続であることを保証すること。
• SBDにおける準静的破壊進化および積分表現の研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 領域のデイアディック立方体分割を用い、ジャンプ集合の測度に基づいて立方体を「良い」または「悪い」と分類する。
• 良い立方体では、ジャンプ集合の小さな例外的集合の外側で、Poincaré-Korn型不等式を用いて関数をアフィン関数で近似する。
• 良好な立方体における関数を滑らかにするためのモロウ化手順を実施する。
• 分区の単位関数を用いて、良好な立方体における滑らかな近似と悪い立方体における元の関数を結合する。
• 構成により、近似関数が領域の大きなコンパクト部分集合で滑らかであることが保証される。
• この手法を用いて、ジャンプ集合が消える準最小化子の収束を証明し、強い最小化子の存在を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元n ≥ 2において、ジャンプ集合が小さいGSBD関数は滑らかな関数によって近似可能か？
• RQ2 グリフィスエネルギーの局所最小化子のジャンプ集合は、高次元でも閉じたままか？
• RQ3 人工的な制約なしに、n次元線形化弾性理論におけるグリフィスエネルギーの強い最小化子の存在を確立できるか？
• RQ4 ジャンプ集合が小さい関数の近似が、最小化子のジャンプ集合を閉じるためにどのように寄与するか？
• RQ5 Poincaré-Korn不等式は、ジャンプ集合が小さいSBD関数の近似においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿では、ジャンプ集合が小さいGSBD関数について、n次元における近似結果を確立し、それがわずかに小さい領域内で滑らかな関数によって近似可能であることを示した。
• 近似手法により、得られる関数は領域の大きなコンパクト部分集合で滑らかであり、エネルギーとジャンプ集合が制御可能であることが保証された。
• 主な技術的進展は、coarea公式や平面特有の構成に依存しない、スライシングに基づく新しい近似技術の導入である。
• この手法により、任意の次元nにおけるグリフィスエネルギーの局所最小化子のジャンプ集合が閉じていることが証明された。
• この結果により、不連続性集合が閉で、その外部で変位がC1であるクラスA2におけるグリフィスエネルギーの強い最小化子の存在が示された。
• 証明は、ジャンプ集合が消える列のコンパクト性および下半連続性結果に依存しており、これは新しい近似スキームによって確立された。