[論文レビュー] Existence of strong minimizers for the Griffith static fracture model in dimension two

Sergio Conti, Matteo Focardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Numerical methods in engineering参考文献 47被引用数 36

ひとこと要約

本稿は2次元におけるグリフィス静的破壊モデルに対して強い最小化子の存在を確立し、最小化子のジャンプ集合が閉じており、変形が連続的に微分可能であることを証明する。主な革新は、2次元におけるSBDp関数に対するベクトル型Poincaré型不等式の構築であり、これはSobolev関数による近似を通じてコンパクト性と正則性を実現し、ベクトル型の場合にcoarea公式が成立しないという問題を克服する。

ABSTRACT

We consider the Griffith fracture model in two spatial dimensions, and prove existence of strong minimizers, with closed jump set and continuously differentiable deformation fields. One key ingredient, which is the object of the present paper, is a generalization of the decay estimate by De Giorgi, Carriero, and Leaci to the vectorial situation. This is based on replacing the coarea formula by a method to approximate $SBD^p$ functions with small jump set by Sobolev functions and is restricted to two dimensions. The other two ingredients are contained in companion papers and consist respectively in regularity results for vectorial elliptic problems of the elasticity type and in a method to approximate in energy $GSBD^p$ functions by $SBV^p$ ones.

研究の動機と目的

• 2次元空間におけるグリフィス破壊モデルに対する強い最小化子の存在を確立すること。
• ジャンプ集合が小さいSBDp関数に対するPoincaré型不等式を構築することで、ベクトル型設定におけるcoarea公式の欠如を克服すること。
• 緩和された汎関数の最小化子が閉じたジャンプ集合を持ち、破壊集合の外ではC1であることを証明すること。
• 2次元における線形弾性設定へのDe Giorgi–Carriero–Leaciアプローチの拡張すること。
• 線形弾性と表面エネルギーを伴う破壊力学における存在理論の基盤を提供すること。

提案手法

• ジャンプ集合が小さいSBDp関数のW1,p関数による新しい近似結果を、2次元に限って開発する。
• この近似を用いて、スカラーの場合に用いられるcoarea公式に代わるSBDp関数に対するPoincaré型不等式を導出する。
• この近似結果を用いて、SBVp関数によるGSBDp関数のエネルギーを制御する。これはGSBDp近似に関する補助的結果を活用する。
• 新規のPoincaré不等式と線形弾性系の楕円型正則性理論を組み合わせ、破壊集合の外で最小化子のC1正則性を導出する。
• エネルギー比較とスケーリングに基づく減衰推定を用いて、ジャンプ集合の下界密度を証明する。
• 2次元では最小化子のジャンプ集合が本質的に閉じていることを利用し、閉じた破壊集合Γ = cl(Ju)を定義可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元におけるグリフィス破壊モデルは、C1変形と閉じた破壊集合を持つ強い最小化子を許容するか？
• RQ2 エネルギーが対称化された勾配に依存するベクトル型設定において、De Giorgi–Carriero–Leaciの減衰推定を拡張できるか？
• RQ3 2次元におけるSBDp関数に対して、coarea公式を回避するPoincaré型不等式が存在するか？
• RQ4 2次元において、GSBDp関数をSBVp関数によってエネルギー的に近似できるか？
• RQ5 最小化子のジャンプ集合が閉じており、変形が破壊集合の外でC1であるための条件は何か？

主な発見

• 2次元において、関数 (1.1) は閉じた破壊集合とC1変形のクラスに最小化子を有する。
• 任意の最小化子のジャンプ集合は本質的に閉じており、H1(Ω ∩ Ju) = H1(Ω ∩ cl(Ju)) が成り立つ。
• 最小化子はΩ \ Ju、すなわち破壊集合の補集合上でC1滑らかである。
• すべてのx ∈ Ω ∩ Juおよび十分に小さいρに対して、下界密度H1(Ju ∩ Bρ(x)) ≥ ϑ1ρが成り立ち、ϑ1は問題パラメータにのみ依存する。
• 証明は、2次元におけるSBDp関数に対する新規のPoincaré型不等式に強く依存しており、これはcoarea公式に代わるものである。
• fµ(ξ) = 1/p((Cξ·ξ + µ)^{p/2} - µ^{p/2}) および h(x,z) = κ|z - g(x)|^p というp-成長エネルギーに対しても結果は拡張可能であり、p ≤ 2ではg ∈ L∞(Ω; R2)、p > 2ではg ∈ W1,p(Ω; R2)を仮定する。