[論文レビュー] Approximation of mixed order Sobolev functions on the $d$-torus -- Asymptotics, preasymptotics and $d$-dependence

Thomas Kuehn, Winfried Sickel+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2013

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$d$-トーラス上の支配的混合滑らかさの Sobolev 空間における $d$ 変数周期関数の近似を検討し、近似数の漸近的および前漸近的挙動、および次元 $d$ への依存性に注目する。固定された滑らかさ $s>0$ に対して、近似定数が $d$ に関して超指数的減少することを確立し、近似問題の準多項式的トレーカビリティを証明することで、高次元数値解析における主要な問題を解決する。

ABSTRACT

We investigate the approximation of $d$-variate periodic functions in Sobolev spaces of dominating mixed (fractional) smoothness $s>0$ on the $d$-dimensional torus, where the approximation error is measured in the $L_2-$norm. In other words, we study the approximation numbers of the Sobolev embeddings $H^s_{ m mix}(\mathbb{T}^d)\hookrightarrow L_2(\mathbb{T}^d)$, with particular emphasis on the dependence on the dimension $d$. For any fixed smoothness $s>0$, we find the exact asymptotic behavior of the constants as $d o\infty$. We observe super-exponential decay of the constants in $d$, if $n$, the number of linear samples of $f$, is large. In addition, motivated by numerical implementation issues, we also focus on the error decay that can be achieved by low rank approximations. We present some surprising results for the so-called ``preasymptotic'' decay and point out connections to the recently introduced notion of quasi-polynomial tractability of approximation problems.

研究の動機と目的

• $d$-トーラス上での混合滑らかさの Sobolev 空間における近似数の次元 $d$ への依存性を分析すること。
• 高次元における近似速度の漸近的および前漸近的挙動を明確にすること。
• 特に準多項式的トレーカビリティを含む近似問題のトレーカビリティ特性を確立すること。
• $d$ および $s$ に依存する明示的かつ鋭い定数を含む近似速度の推定式を提供すること。

提案手法

• 固定された $s > 0$ に対して、$n \to \infty$ のときの近似数 $a_n(I_d)$ の正確な漸近的挙動を導出し、$\left[\frac{2^d}{(d-1)!}\right]^s (\ln n)^{(d-1)s} n^{-s}$ に収束することを示す。
• 純粋なスペクトル解析とヒルベルト空間間のコンパクト作用素に対する特異値分解を用いて、近似数を特異値として特徴付ける。
• 多重添字に関する組合せ的推定と和の上限評価を用いて、近似誤差分解における項の数の増大を制御する。
• 準多項式的トレーカビリティの概念を適用し、誤差 $\varepsilon$ を達成するために必要な最小のサンプル数 $n(\varepsilon, d)$ に対する上限を導出し、$\ln n(\varepsilon, d) \leq C \ln(\varepsilon^{-1})(1 + \ln d)$ を得る。
• $H^{s}_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 上の異なる同値ノルムを比較し、上界における定数 $C_s(d)$ が $2 \leq \lambda \leq 6$ に応じて $\left[\frac{\lambda^d}{(d-1)!}\right]^s$ と表され、固定された $s > 0$ に対して $d$ に関して超指数的に減少することを示す。
• トレース積構造との関係を確立し、既知のトレース積作用素に関する結果を用いて、一変数の挙動からトレーカビリティを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $s > 0$ および増大する $d$ に対して、$n \to \infty$ のときの近似数 $a_n(I_d)$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 $n \leq 4^d$ の前漸近的領域において、近似誤差の減衰はどのように進行するか？ これは実用的アルゴリズムにどのような含意を持つか？
• RQ3 近似定数が次元 $d$ に依存する関係は何か？ そして、これは超指数的に減少するか？
• RQ4 近似問題は準多項式的トレーカビリティを満たすか？ そして、次元の呪いとはどのように関係するか？
• RQ5 $H^s_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 上の異なる同値ノルムは、近似速度推定式における定数にどのように影響するか？

主な発見

• 近似数は $\lim_{n \to \infty} \frac{n^s a_n(I_d)}{(\ln n)^{(d-1)s}} = \left[\frac{2^d}{(d-1)!}\right]^s$ を満たし、$d$ に関して超指数的減少する正確な漸近的挙動を示す。
• 近似速度推定式における上界定数 $C_s(d)$ は $\left[\frac{\lambda^d}{(d-1)!}\right]^s$（$2 \leq \lambda \leq 6$）と表され、固定された $s > 0$ に対して $d$ に関して超指数的に減少することが示される。
• $n \leq 4^d$ の範囲では前漸近的減衰が遅く、$n^{-s}(\ln n)^{(d-1)s}$ の減衰率は $\left(\frac{d-1}{e}\right)^{s(d-1)}$ でピークに達し、$d$ に関して超指数的に増大するため、減衰の開始が遅れる。
• 近似問題は準多項式的トレーカビリティを満たす：$n(\varepsilon, d) \leq C_t \exp\left(t \ln(\varepsilon^{-1})(1 + \ln d)\right)$（$t, C_t > 0$）。これは、サンプル数が $d$ や $\varepsilon^{-1}$ に対してゆっくりと増加することを示唆する。
• 問題は多項式的トレーカビリティを満たさないが、弱いトレーカビリティを満たす。また、$H^s_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 上のすべての同値ノルム（$H^{s,\#}_{\rm mix}$, $H^{s,+}_{\rm mix}$, $H^{s,*}_{\rm mix}$, $H^m_{\rm mix}$ を含む）に対して準多項式的トレーカビリティが成立する。
• 組合せ的推定とスペクトル解析を用いて結果を導出し、トレース積作用素や既知のトレーカビリティ理論と関連づけた。