[論文レビュー] Approximation of Reeb spaces with Mappers and Applications to Stochastic Filters.

Mathieu Carrière, Bertrand Michel|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、フィルタ関数がℝᵈに値をとる多次元設定におけるリーブ空間の近似のための新しいマッパーに基づく推定器を提案する。この研究では、インタLeave距離の擬距離への拡張を用いた収束性を確立し、統計的フィルタ関数推定にフレームワークを適用することで、データ解析の文脈において理論的および数値的妥当性を示している。

ABSTRACT

Reeb spaces, as well as their discretized versions called Mappers, are common descriptors used in Topological Data Analysis, with plenty of applications in various fields of science, such as computational biology and data visualization, among others. The stability and quantification of the rate of convergence of the Mapper to the Reeb space has been studied a lot in recent works~\cite{Brown2019, Carriere2018a, Carriere2018, Munch2016}, focusing on the case where a scalar-valued filter is used for the computation of Mapper. On the other hand, much less is known in the multivariate case, where the domain of the filter is in $\mathbb R^d$ instead of $\mathbb R$. The only available result in this setting~\cite{Munch2016} only works for topological spaces and cannot be used as is for finite metric spaces representing data, such as point clouds and distance matrices. In this article, we present an approximation result for the Reeb space in the multivariate case using a Mapper-based estimator, which is a slight modification of the usual Mapper construction. Moreover, our approximation is stated with respect to a pseudometric that is an extension of the usual {\em interleaving distance} between persistence modules~\cite{Chazal2016}. Finally, we apply our results to the case where the filter function used to compute the Mapper is estimated from the data. We provide applications of this setting in statistics and machine learning and probability for different kinds of target filters, as well as numerical experiments that demonstrate the relevance of our approach.

研究の動機と目的

• 有限距離空間におけるマッパーを用いた多次元リーブ空間近似の理論的収束結果の欠如に応えること。
• 近似誤差を測るための、ℝᵈ上のパーシsistenseモジュールへ向けたインタLeave距離フレームワークの拡張。
• フィルタ関数がデータから推定される状況においても安定かつ収束するマッパーに基づく推定器の開発。
• スカラーフィルタやトポロジカル空間に限定されていた先行研究とは異なり、多次元ケースにおけるリーブ空間近似の理論的保証を提供すること。
• 統計、機械学習、確率の分野における応用を通じて実用的妥当性を示し、数値的妥当性を検証すること。

提案手法

• ℝᵈに値をとる多次元フィルタ関数に特化した、変更済みマッパー構成を導入する。
• 標準のインタLeave距離を多次元設定に一般化するリーブ空間上の擬距離を定義する。
• ℝᵈ上のパーシストェンスモジュールを用いてトポロジカル特徴を表現し、拡張された擬距離を用いて近似誤差を測定する。
• 点群や距離行列などのデータからフィルタ関数が推定される状況にこの推定器を適用する。
• 真のリーブ空間とマッパー近似との間の擬距離を、サンプリング密度およびフィルタ関数推定誤差と関連付けることで収束速度を確立する。
• 合成データおよび実世界データにおける数値実験を通じて、理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルタ関数がスカラー値ではなくℝᵈに値をとる多次元の場合、リーブ空間はどのように一貫して近似可能か？
• RQ2 標準のインタLeave距離を多次元ケースに拡張するための、リーブ空間間の距離を測るための擬距離は何か？
• RQ3 変更済みマッパー構成は、多次元フィルタを伴う有限距離空間におけるリーブ空間近似に対して理論的収束保証を提供できるか？
• RQ4 フィルタ関数の推定誤差は、リーブ空間近似の精度にどのように影響するか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、統計および機械学習応用において実用的意義を持ち、数値的性能はいかがなものか？

主な発見

• 提案されたマッパーに基づく推定器は、多次元設定においてインタLeave距離の擬距離への拡張を用いた収束性を達成する。
• 理論的枠組みは、点群や距離行列などの有限距離空間に直接適用可能であり、先行研究がトポロジカル空間に限定されていたという制限を克服する。
• 近似誤差は、サンプリング密度およびフィルタ関数の推定誤差によって定量的に上限が定められ、収束速度が得られる。
• 数値実験により、さまざまなデータタイプおよびフィルタ関数推定状況において、本手法の安定性と精度が確認された。
• 本手法は、フィルタ関数がデータから推定される統計および機械学習分野における信頼性の高いトポロジカルデータ解析を可能にする。
• 本フレームワークにより、理論的厳密性を備えた高次元データ解析タスクへのマッパーの適用範囲が拡張された。