[論文レビュー] Approximation of stochastic processes by non-expansive flows and coming down from infinity

Vincent Bansaye|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非拡張フローを用いて高次元確率過程の軌道ごとの近似法を構築し、非リプシッツ型のドリフトに対しても一様な推定を可能にする。マルティンゲール技法とポアンカレコンパクト化を用いて、共析的および集団モデルにおける「無限大から下降する」現象が成立する条件を確立し、$\backslashLambda$-共析および競争的ロトカ・ヴォルテラ拡散への応用を含む。

ABSTRACT

We approximate stochastic processes in finite dimension by dynamical systems. We provide trajectorial estimates which are uniform with respect to the initial condition for a well chosen distance. This relies on some non-expansivity property of the flow, which allows to deal with non-Lipschitz vector fields. We use the stochastic calculus and follow the martingale technics initiated in Berestycki and al [5] to control the fluctuations. Our main applications deal with the short time behavior of stochastic processes starting from large initial values. We state general properties on the coming down from infinity of one-dimensional SDEs, with a focus on stochastically monotone processes. In particular, we recover and complement known results on Lambda-coalescent and birth and death processes. Moreover, using Poincar{\\'e}'s compactification technicsfor dynamical systems close to infinity, we develop this approach in two dimensions for competitive stochastic models. We classify the coming down from infinity of Lotka-Volterra diffusions and provide uniform estimates for the scaling limits of competitive birth and death processes.

研究の動機と目的

• マーティンゲールによる摂動を受ける確率過程に対して、ドリフトが非リプシッツ型であっても、軌道ごとの一様推定を提供すること。
• 特に集団モデルにおける1次元および2次元確率過程における「無限大から下降する」現象を分析すること。
• ポアンカレコンパクト化と錐における非拡張性を用いて、競争的確率的システムへの近似技法を拡張すること。
• 大規模な初期値における、競争的出生死滅過程のスケーリング極限を、一様推定を伴って導出すること。
• $\backslashLambda$-共析とフェラー拡散に関する結果を非拡張性フレームワークを用いて統一的かつ一般化すること。

提案手法

• $(L,\alpha)$-非拡張ベクトル場を、$(\psi(x)-\psi(y))\cdot(x-y) \leq L\|x-y\|_2^2 + \alpha\|x-y\|_2$ で定義し、軌道の発散を制御する。
• $(C^2$-滑らかである$F$を用いて、距離$d(x,y) = \|F(x) - F(y)\|_2$を定義し、確率的微積分とマルティンゲールに基づく揺らぎ制御を可能にする。
• グローワル型の不等式と停止時刻$T_D(x_0)$を用いて、領域$D$からの抜出し時間をバウンドし、決定的フローからの逸脱を制御する。
• 2次元の競争的システムにおける無限大付近の挙動を分析するため、ポアンカレの方法によるコンパクト化技術を導入する。
• 非リプシッツ型ベクトル場を扱うために、切り詰めたドリフト$\psi^K$とリプシッツ近似を用いながらも、非拡張性の性質を保つ。
• 文献[6]のマルティンゲール技法を応用し、揺らぎを制御し、フローからの逸脱に関する一様確率的バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元SDEが、大きな初期値から出発する場合、「無限大から下降する」条件は何か？
• RQ2 非拡張フローは、確率過程がその決定的対応物から逸脱するのを一様に制御するためにどのように利用できるか？
• RQ3 競争的出生死滅過程のスケーリング極限は何か？また、大規模な初期値の範囲で一様に近似するにはどうすればよいか？
• RQ4 ポアンカレコンパクト化は、2次元の競争的ロトカ・ヴォルテラ拡散が無限大付近で示す挙動を分析するためにどのように役立つか？
• RQ5 非拡張性フレームワークは、拡散およびジャンプ成分を有する確率過程における非リプシッツ型ベクトル場に対しても拡張可能か？

主な発見

• 任意の$\varepsilon > 0$に対して、過程が決定的フローから$\varepsilon$以上逸脱する確率は、初期条件$x_0 \in D$に対して一様に$C_T \int_0^T \overline{V}_{d,\varepsilon}(x_0,t)\,dt$でバウンドされる。
• 本稿では、$T_D^K(x_1) \geq T_{D,\varepsilon}(x_0)$および$\|\phi(x_0,t) - \phi^K(x_1,t)\|_2 \leq \frac{\max(M,\eta)\exp((L+M)T)}{K}$を$K$が十分大きい場合に示し、切り詰めに対する安定性を保証する。
• 領域$B(0,A)^c$上で$(\psi(x)-\psi(y))\cdot(x-y) \leq -\mu\|x\|_2\|x-y\|_2^2$を満たすベクトル場に対して、系は有限状態への強い吸引性を示し、無限大から下降する。
• 本手法は既知の$\backslashLambda$-共析と出生死滅過程に関する結果を回復・拡張し、ブロック数の対数的増加が制御されたレートで無限大から下降することを示す。
• 2次元の競争的ロトカ・ヴォルテラ拡散に対して、無限大から下降する挙動を分類し、スケーリング極限の均一短期的推定を導出する。
• $F$-変換距離と$C^2$-滑らかな関数の使用により、伊藤の公式とマルティンゲール不等式を用いて揺らぎを精密に制御できる。