[論文レビュー] Approximation of the inertial manifold for a nonlocal dynamical system

Xingjie Yan, Jinchun He+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、分数ラプラシアン作用素 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ を有する非局所偏微分方程式に対して、慣性多様体の存在を確立し、微小な法線拡散 $\varepsilon\Delta$ が導入された場合の慣性多様体の漸近的近似を提供する。$\varepsilon \to 0^+$ のとき、法線拡散あり・なしの慣性多様体間のハウスドルフ半距離が $o(\varepsilon)$ の収束速度で 0 に収束することを証明しており、これは $\alpha$ と拡散パrameter に依存するスペクトルギャップ条件の下で成り立つ。

ABSTRACT

We consider inertial manifolds and their approximation for a class of partial differential equations with a nonlocal Laplacian operator $-(-Δ)^{\fracα{2}}$, with $0

研究の動機と目的

• 非局所力学系に支配される分数ラプラシアン作用素 $(-\Delta)^{\alpha/2}$（$0 < \alpha < 2$）に対して、慣性多様体の存在を確立すること。
• 異常拡散パrameter $\alpha$ が、慣性多様体の存在に必要なスペクトルギャップ条件に与える影響を調査すること。
• 微小な法線拡散 $\varepsilon\Delta$ が系に加えられたときの慣性多様体の近似を分析すること（$\varepsilon \in (0,1)$）。
• 法線拡散あり・なしの慣性多様体間のハウスドルフ半距離の推定を、$\varepsilon \to 0^+$ のときに行うこと。

提案手法

• 適切な関数空間における非線形写像の不動点として慣性多様体を構成するために、リャプノフ・ペロン法が用いられる。
• 線形作用素の固有値ギャップと非線形性のリプシッツ定数の関係を示すスペクトルギャップ条件の下で、慣性多様体の存在が証明される。
• 射影 $P_N$ と $I - P_N$ を用いた解空間の低周波数・高周波数成分への分解により、慣性多様体上の力学を扱う。
• 系から導かれる積分方程式に対する一意解の存在を示すために、重み付き関数空間 $\mathcal{F}_\sigma$ における収縮写像原理が適用される。
• $\varepsilon$ のべき級数としての摂動級数を用いて、慣性多様体の漸近的近似が導出され、係数 $\Phi^k(p)$ は $k$ 階の補正を表す。
• 補正項 $\Phi^k(p)$ の一様有界性を用いて、多様体 $\mathcal{M}_\varepsilon$ と $\mathcal{M}_0$ 間のハウスドルフ半距離が推定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数ラプラシアン作用素 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ を有する非局所PDEに対して、どのような条件下で慣性多様体が存在するか？
• RQ2 異常拡散項のパrameter $\alpha$ は、慣性多様体の存在に必要なスペクトルギャップ条件にどのように影響を与えるか？
• RQ3 微小な法線拡散 $\varepsilon\Delta$ が系に加えられたとき（$\varepsilon \to 0^+$）、慣性多様体の挙動はいかなるものか？
• RQ4 微小な法線拡散を有する系の慣性多様体は、法線拡散なしの多様体を用いてどのように近似できるか？
• RQ5 ハウスドルフ半距離の観点から、微小な法線拡散を有する慣性多様体は、それなしの多様体へどの程度の速度で収束するか？

主な発見

• スペクトルギャップ条件が満たされる限り、異常拡散および法線拡散を有する非局所系に対して慣性多様体が存在する。この条件は、$\alpha$、固有値、非線形性のリプシッツ定数の相互作用に依存する。
• $\alpha < 1$ の場合、法線拡散なし（$\varepsilon = 0$）ではスペクトルギャップ条件が成立せず、標準的仮定のもとでは慣性多様体は存在しない。
• 微小な法線拡散 $\varepsilon\Delta$ を有する系の慣性多様体 $\mathcal{M}_\varepsilon$ は、摂動級数として表される：$\mathcal{M}_\varepsilon = \{p + \Phi^0(p) + \varepsilon\Phi^1(p) + \cdots \mid p \in P_N H\}$。
• 多様体 $\mathcal{M}_\varepsilon$ と $\mathcal{M}_0$ 間のハウスドルフ半距離は、$\varepsilon \to 0^+$ のとき $\text{dist}_H(\mathcal{M}_\varepsilon, \mathcal{M}_0) \leq o(\varepsilon)$ を満たし、多様体の収束を示している。
• $k \geq 1$ の補正項 $\Phi^k(p)$ は $H$ 上で一様有界であるため、摂動級数の収束および漸近的近似の有効性が保証される。
• 収束速度 $o(\varepsilon)$ は、重み付き空間 $\mathcal{F}_\sigma$ における収縮写像原理と、作用素 $A_\varepsilon$ が生成する半群の指数的分離推定を用いて確立される。