[論文レビュー] Approximation properties by generalized Baskakov Kantorovich Stancu type operators

Abdul Wafi, Nadeem Rao|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、近似理論における一般化されたBaskakov-Kantorovich-Stancu作用素を導入し、Baskakov、Kantorovich、Stancu作用素の特徴を統合する枠組みを提供する。モジュラスの連続性、第二モジュラス、PeetreのK汎関数、および重み付きモジュラスの連続性を用いた直接的近似結果を確立し、重み付き空間における収束速度を証明するとともに、[0, ∞) 上の関数に対するKorovkin型定理を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce generalized Baskakov Kantorovich Stancu type operators and investigate direct result, local approximation and weighted approximation properties of these operators. Modulus of continuity, second modulus of continuity, Peeters K-functional, weighted modulus of continuity and Lipschitz class are considered to prove our results.

研究の動機と目的

• Baskakov、Kantorovich、Stancu作用素を統合する新しい線形正の作用素のクラスを[0, ∞) 上の近似のために開発すること。
• モジュラスの連続性やPeetreのK汎関数といった古典的手法を用いた直接的近似性質の調査。
• 重み付き連続関数空間に属する関数に対する局所的近似および重み付き近似の結果の確立。
• 重み付きモジュラスの連続性を用いて、Korovkin型定理を重み付き設定に拡張すること。
• 重み付きモジュラスの連続性および第二モジュラスの連続性を用いて、近似の順序を特定すること。

提案手法

• パrameter $ a, \alpha, \beta $ を用いてパrameter化された一般化された重み関数 $ W_{n,k}^a(x) $ を含む積分形により、一般化されたBaskakov-Kantorovich-Stancu作用素を定義する。
• 重み関数 $ W_{n,k}^a(x) = e^{-\frac{ax}{1+x}} \frac{p_k(n,a)}{k!} \frac{x^k}{(1+x)^{k+n}} $ を用いる。ここで $ p_k(n,a) $ は一般化されたPochhammer型多項式である。
• 1次から4次までのモーメントまでを明示的な公式 $ T_{n,a}^{\alpha,\beta}(1;x), T_{n,a}^{\alpha,\beta}(t;x), T_{n,a}^{\alpha,\beta}(t^2;x), \dots $ を用いて作用素のモーメント推定を確立する。
• PeetreのK汎関数および第二モジュラスの連続性を用いて、直接的近似推定を導出する。
• 重み付きモジュラスの連続性 $ \Omega_n(f;\delta) = \sup_{|h|\leq\delta, x\in[0,\infty)} \frac{|f(x+h)-f(x)|}{(1+x^2)(1+h^2)} $ を用いて、重み付き $ L^\infty $-空間における収束を分析する。
• 近似誤差を4次モーメントを用いて評価するため、$ \left( \frac{|t-x|}{\delta_n} + 1 \right) $ および $ (1 + (t-x)^4 / \delta_n^4) $ の不等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたBaskakov-Kantorovich-Stancu作用素は、[0, ∞) 上の関数に対して、直接的近似誤差の観点でどのように振る舞うか？
• RQ2 これらの作用素は、重み付き連続関数空間において、どの程度の速度で収束するか？
• RQ3 この新しい作用素クラスに対して、重み付きKorovkin型定理を確立できるか？
• RQ4 パrameter $ a, \alpha, \beta $ は近似性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 近似誤差と第二モジュラスの連続性、またはPeetreのK汎関数との関係は何か？

主な発見

• $ T_{n,a}^{\alpha,\beta}(f;x) $ は、$ n \to \infty $ のとき、重み付きノルム $ \| \cdot \|_\rho $ において $ f(x) $ に[0, ∞) 上で一様収束し、重み付きKorovkin条件を満たす。
• 近似誤差は $ \sup_{x\in[0,\infty)} \frac{|T_{n,a}^{\alpha,\beta}(f;x) - f(x)|}{(1+x^2)^3} \leq M_{a}^{\alpha,\beta} \Omega_n(f; (n+\beta)^{-1/2}) $ を満たす。ここで $ \Omega_n $ は重み付きモジュラスの連続性である。
• 近似の順序は、重み付きモジュラスの連続性を用いて $ O((n+\beta)^{-1/2}) $ である。
• 第二モジュラスの連続性およびPeetreのK汎関数を用いて同等の推定を導出し、収束速度の鋭さを確認した。
• 作用素の4次モーメントは $ \frac{1}{(n+\beta)^2}(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) $ で有界である。これは収束速度の分析を支援する。
• $ \alpha = \beta = 0 $ のとき、作用素は先行研究で取り上げられた一般化されたBaskakov-Kantorovich作用素に還元され、既存の文献と整合性が確認された。