[論文レビュー] Some approximation results by Bernstein-Kantorovich operators based on (p,q)-integers

M. Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$q$-アナローグ作用素の一般化として、$(p,q)$-ベルンシュタイン＝カントロヴィチ作用素を導入し、関数近似における柔軟性を向上させている。コロフキンの定理およびモジュラス連続性を用いて、収束速度と局所的近似性質を確立し、理論的分析と図的比較を通じて、$q$-作用素に比べて優れた収束の柔軟性を示している。

ABSTRACT

In this paper, First we have given the modified form of (p,q)-analogues of Bernstein and Bernstein operators [21-23] and then we introduce a new analogue of Bernstein-Kantorovich operators which we call as (p,q)-Bernstein-Kantorovich operators. We discuss approximation properties for these operators based on Korovkin's type approximation theorem and we compute the order of convergence using usual modulus of continuity and also the rate of convergence when f is a Lipschitz function. Moreover, we also study the local approximation property of the (p,q)-Kantorovich operators . We show comparisons and some illustrative graphics for the convergence of operators to a function. In comparison to q-analogoue of Bernstein-Kantorovich operators, our generalization gives more flexibility for the convergence of operators to a function.

研究の動機と目的

• $(p,q)$-微積分を用いた新しいベルンシュタイン＝カントロヴィチ作用素の一般化を考案し、近似の柔軟性を向上させること。
• コロフキン型定理を用いて、提案された$(p,q)$-ベルンシュタイン＝カントロヴィチ作用素の近似性質を分析すること。
• 関数がリプシッツクラス$\mathrm{Lip}_M(\alpha)$に属する場合の、モジュラス連続性および収束速度による収束の次数を計算すること。
• 2階の$K$-汎関数およびピートレの$K$-汎関数を用いて、列$K_n^{(p,q)}$の局所的近似行動を調査すること。

提案手法

• $(p,q)$-整数に基づく新しい作用素$K_n^{(p,q)}(f;x)$を提案し、$q$-ベルンシュタイン＝カントロヴィチ作用素を一般化すること。
• $(p,q)$-微積分の枠組みを定義し、$(p,q)$-整数、$(p,q)$-二項係数、$(p,q)$-積分を含めること。
• 作用素$K_n^{(p,q)}$のモーメント推定を支援する基本的補題を確立し、収束分析を支援すること。
• コロフキンの定理を適用して、連続関数に対する$[0,1]$上での一様収束を証明すること。
• モジュラス連続性および$K$-汎関数を用いて、収束速度の定量的推定を導出すること。
• MATLABを用いて、異なる$p$、$q$、$n$の値における収束行動を図示する比較図を生成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(p,q)$-ベルンシュタイン＝カントロヴィチ作用素は、関数近似において$q$-アナローグに比べてどのように収束の柔軟性を向上させるか？
• RQ2 通常のモジュラス連続性を用いた場合、提案された$(p,q)$-作用素の収束の次数は何か？
• RQ3 関数$f$がリプシッツクラス$\mathrm{Lip}_M(\alpha)$に属する場合、収束速度は何か？
• RQ4 $K_n^{(p,q)}$の局所的近似性質はどのように振る舞い、その定量的推定は何か？
• RQ5 図的例は、収束速度と精度の面で、$(p,q)$-作用素が$q$-作用素をどれほど上回っているかをどの程度示しているか？

主な発見

• 提案された$(p,q)$-ベルンシュタイン＝カントロヴィチ作用素は、$n \to \infty$のとき、$[0,1]$上で連続関数に一様収束し、コロフキンの条件を満たす。
• モジュラス連続性を用いて、収束の次数は$O(\delta_n^2(x))$と推定され、ここで$\delta_n^2(x)$は作用素の2階モーメントである。
• 関数が$\mathrm{Lip}_M(\alpha)$に属する場合、収束速度は$O\left(\left(\frac{p^n}{[n]_{p,q}}\right)^{\alpha/2}\right)$と表され、$p$、$q$、$n$に依存することが示された。
• 局所的近似誤差は、$C \omega_2(f, \delta_n(x)) + \omega(f, \alpha_n(x))$で上界が与えられ、ここで$\omega_2$は2階モジュラス連続性、$\alpha_n(x) = \frac{p^n}{[2]_{p,q}[n]_{p,q}}$である。
• 図的結果は、$p \to 1^-$および$q \to 1^-$のとき、$0 < q < p \leq 1$の下で、関数$f(x) = 1 + \sin(7x)$への収束が$q$-アナローグよりもより柔軟かつ迅速であることを確認している。
• $K$-汎関数のアプローチにより定量的推定が得られ、$\left|K_n^{(p,q)}(f;x) - f(x)\right| \leq 4K_2(f, \delta_n^2(x)) + \omega\left(f, \frac{p^n}{[2]_{p,q}[n]_{p,q}}\right)$が成り立ち、最適な滑らかさ依存性を有する収束が確認された。