[論文レビュー] Approximation properties of Chlodowsky variant of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators

Vishnu Narayan Mishra, M. Mursaleen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非有界区間における近似のための既存の (p,q) 演算子を一般化する新しい Chlodowsky 変種の (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 演算子を導入する。Korovkin 型近似定理を確立し、連続関数が [0, ∞) 上で一様収束することを示すために、モジュラスの連続性および Ditzian-Totik モジュラスを用いて収束速度を導出する。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce the Chlodowsky variant of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators which is a generalization of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators. We have also discussed its approximation properties and rate of convergence.

研究の動機と目的

• 非有界区間 [0, ∞) における近似のための、(p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 演算子の新しい Chlodowsky 型一般化を開発すること。
• bn → ∞ かつ bn/[n]q → 0 を満たす数列 (bn) を用いて、(p,q) 演算子の適用範囲を [0,1] から [0, ∞) に拡張すること。
• 連続関数の空間における新しい演算子の Korovkin 型近似定理を確立すること。
• モジュラスの連続性および Ditzian-Totik モジュラスを用いて収束速度を分析すること。
• p, q および数列 (bn) に適切な条件下で、C1+x²[0, ∞) に属する関数に対して一様収束を示すこと。

提案手法

• bn → ∞ かつ bn/[n]q → 0 を満たす数列 (bn) を用い、(p,q)-整数を用いて [0, bn] 上で定義される新しい線形正の演算子 Cn,m(α,β)(f;x,p,q) を提案する。
• 収束分析のための (t−x)² の期待値を含む、演算子の最初の4次のモーメントの明示的公式を導出する。
• 非有界区間における正の線形演算子の Korovkin 定理を適用し、テスト関数 1, t, t² に対して収束を証明する。
• 近似誤差を推定し、収束速度を導出するために、Ditzian-Totik の滑らかさモジュラス ω(f'; δ) を用いる。
• 誤差推定における2次モーメント項をバインドするために Cauchy-Schwarz 不等式を用い、定量的収束結果に至る。
• 最適な δ = (Bn,p,q(α,β))¹ᐟ² を用いて、|Cn,m(α,β)(f;x,p,q) − f(x)| ≤ M(|[n+m]p,q/[n]p,q + β − 1|A + αbn/[n]p,q + β) + ω(f'; δ)[(Bn,p,q(α,β))¹ᐟ² + (1/δ)Bn,p,q(α,β)] の形の定量的収束推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 演算子を、Chlodowsky のアプローチを用いて非有界区間 [0, ∞) に一般化できるか？
• RQ2 新しい Chlodowsky-(p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 演算子の Korovkin 型近似特性は何か？
• RQ3 C1+x²[0, ∞) に属する関数に対するこれらの演算子の収束速度は何か？
• RQ4 数列 (bn) の選択は、演算子の収束行動にどのように影響するか？
• RQ5 Ditzian-Totik モジュラスの連続性は、この新しいクラスの演算子に対して定量的収束推定を導出するために効果的に使用できるか？

主な発見

• 提案された (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 演算子の Chlodowsky 変種は、bn → ∞ かつ bn/[n]q → 0 を満たす [0, bn] 上で定義される線形かつ正の演算子である。
• p, q → 1 かつ m = 0 のとき、この演算子は Stancu-Chlodowsky 多項式に簡約される。
• 演算子の最初の4次のモーメントが明示的に計算され、収束分析が可能になる。
• テスト関数 1, t, t² に対して、[0, ∞) 上で Korovkin 近似定理を満たす。
• Ditzian-Totik モジュラスの連続性を用いて定量的収束推定が導出され、誤差は2次モーメント Bn,p,q(α,β) およびモジュラス ω(f'; δ) を含む項によって上限で抑えられる。
• δ = (Bn,p,q(α,β))¹ᐟ² を選ぶことで、O((Bn,p,q(α,β))¹ᐟ²) の最適な収束速度が達成され、C1+x²[0, ∞) に属する関数に対して一様収束が示される。