[論文レビュー] Approximations of convex bodies by polytopes and by projections of spectrahedra

Alexander Barvinok|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、凸体に対する2つの近似結果を提示する。第一に、任意のℝᵈ内のコンパクト集合は、d^O(1/ε²)個の点からなる有限集合によって最大線形関数値においてε√dの近似が可能であり、近似誤差要因はε√dである。第二に、格子幅が有界な整数点集合の凸包は、多項式次元の環境空間におけるスぺクトラヒドラ（正定値行列の断面）の射影によって近似可能であり、テンソル累乗技法と正定値ランク理論を用いる。

ABSTRACT

We prove that for any compact set B in R^d and for any epsilon >0 there is a finite subset X of B of |X|=d^{O(1/epsilon^2)} points such that the maximum absolute value of any linear function ell: R^d --> R on X approximates the maximum absolute value of ell on B within a factor of epsilon sqrt{d}. We also discuss approximations of convex bodies by projections of spectrahedra, that is, by projections of sections of the cone of positive semidefinite matrices by affine subspaces.

研究の動機と目的

• 有限点集合およびスぺクトラヒドラの射影を用いた、凸体の効率的かつ低複雑性の近似手法の開発。
• 一般凸体上で線形関数を最適化する計算的課題に対処し、それらを扱いやすい凸集合に置き換える。
• 次元および近似誤差に基づいて、近似集合およびスぺクトラヒドラのサイズに関する定量的バウンドの確立。
• 近似精度と正定値ランク、およびテンソル累乗構成との関連の確立。
• スぺクトラヒドラの射影が、一般凸体に対して有限点集合よりも優れた近似をもたらすかの探求。

提案手法

• ℝᵈの対称的テンソル累乗を用い、正定値構造が現れる高次元空間へのベクトルの埋め込み。
• max|ℓ(x)| が B 上で、|X| = d^O(k) の有限集合 X ⊂ B において、(d+k−1 choose k)^{1/(2k)} ≈ √(de/k) の要因内で近似可能であることを構築。
• リフト技術の適用：B を (x,1) を通じて ℝ^{d+1} に埋め込み、格子幅制約を用いて線形関数の範囲を有界化。
• ℝ^{r×r} 内の正定値行列の断面からの射影としてのアフィン写像によるスぺクトラヒドラの構成。ここで r ≤ (k+d+2 choose k)。
• 区間 [0,1] 上での√t の多項式近似を用い、非負の行列を、小さい正定値ランクを持つ非負行列で近似する。
• テンソル累乗および多項式補間を用いて構築されたリフト行列のランクが正定値ランクを上界として持つという事実を活用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のε > 0 に対して、ℝᵈ 内のコンパクトな凸体 B に対して、d^O(1/ε²) 個の点からなる有限集合 X ⊂ B が存在し、任意の線形関数 ℓ に対して max|ℓ(x)| の最大値が ε√d の要因内で近似可能であるか。
• RQ2 すべての線形関数 ℓ に対して、max|ℓ(x)| が B 上で X 上で近似可能となるような、有限集合 X ⊂ B の最小サイズは何か。
• RQ3 格子幅が k で有界なℝᵈ 内の整数点の有限集合 B に対して、conv(B) が多項式次元の環境空間におけるスぺクトラヒドラの射影によって近似可能か。
• RQ4 非負行列の正定値ランクと、小さい正定値ランクを持つ行列によるその近似との関係は何か。
• RQ5 一般凸体に対して、スぺクトラヒドラの射影が有限点集合よりも優れた近似バウンドをもたらすか。

主な発見

• 任意のε > 0 に対して、max|ℓ(x)| が B 上で、|X| = d^O(1/ε²) の有限集合 X ⊂ B を用いて ε√d の要因内で近似可能である。
• 近似要因 (d+k−1 choose k)^{1/(2k)} ≈ √(de/k) は、|X| = d^O(k) 個の点で達成可能であり、サイズと精度のトレードオフを示す。
• 格子幅が k で有界な整数点集合 B ⊂ ℤᵈ に対して、conv(B) をすべての格子方向で正確に近似する凸集合 C ⊂ ℝᵈ が存在し、スぺクトラヒドラの環境次元 r = d^O(k) である。
• このような近似に必要なスぺクトラヒドラの環境次元 r は r ≤ (k+d+2 choose k) を満たし、k が固定されている場合には d に対して多項式的である。
• [0,1] 内の要素を持つ任意の非負行列 A は、正定値ランクが (rank A)^d(ε) 以下である非負行列 A′ によって ε-近似可能であり、ここで d(ε) は ε のみに依存する。
• 構成により、A は A′ によって ε-近似可能であり、rank_psd(A′) ≤ (rank A)^d(ε) が成立し、小さな正定値ランクが良好な行列近似に十分であることが示された。