[論文レビュー] Exponential Lower Bounds for Polytopes in Combinatorial Optimization

Samuel Fiorini, Serge Massar+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 52被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、対称性制約がなくても、多項式サイズの線形計画法（LP）が巡回セールスマン問題の多面体を表現できないことを証明することで、長年の未解決問題を解決した。著者たちは、1方向量子通信プロトコルとLPの半正定値計画法（SDP）再定式化との間の新しい接続を用い、TSP、カット、安定集合の多面体の拡張複雑度に対して超多項式の下界を確立した。これにより、これらのNP困難問題に対する多項式サイズのLP定式化が不可能であることが示された。

ABSTRACT

We solve a 20-year old problem posed by Yannakakis and prove that there exists no polynomial-size linear program (LP) whose associated polytope projects to the traveling salesman polytope, even if the LP is not required to be symmetric. Moreover, we prove that this holds also for the cut polytope and the stable set polytope. These results were discovered through a new connection that we make between one-way quantum communication protocols and semidefinite programming reformulations of LPs.

研究の動機と目的

• 非対称な多項式サイズのLPが巡回セールスマン問題多面体を表現できるかどうかを検証すること。
• 重要な組合せ最適化多面体の拡張複雑度に対して、条件なしの超多項式下界を確立すること。
• スラック行列の非負ランクとPSDランクが指数的ギャップを示す可能性があることを示し、LPおよびSDP再定式化の限界を示すこと。
• 量子通信複雑度とLP/SDP拡張複雑度との間の理論的ブリッジを構築すること。

提案手法

• 1方向量子通信プロトコルと線形計画法の半正定値計画法（SDP）再定式化との間の新しい接続を導入すること。
• 行列の量子通信複雑度を用いて、そのスラック行列の非負ランクの下界を導出すること。
• 多面体の拡張複雑度が、そのスラック行列の非負ランクの対数以上であることを確立すること。
• TSP、カット、安定集合多面体のスラック行列の非負ランクが超多項式であることを証明し、指数的拡張複雑度を示すこと。
• 既知のスラック行列のランクに関する結果と、非負ランクとPSDランクの関係を活用して、指数的ギャップを導出すること。
• 超平面分離境界と長方形カバー技法を用いて、拡張複雑度の下界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性制約がなくても、任意の多項式サイズの線形計画法が巡回セールスマン問題多面体を表現できるか？
• RQ2 カット多面体と安定集合多面体の正確な拡張複雑度は何か？
• RQ3 スラック行列の非負ランクと正定値（PSD）ランクの間に指数的ギャップが存在するか？
• RQ4 量子通信複雑度を用いて、組合せ最適化多面体の拡張複雑度の下界を導出できるか？
• RQ5 カット多面体に対して多項式サイズの半正定値計画法定式化が存在する場合、それにより多項式サイズのLP定式化が得られるか？

主な発見

• 巡回セールスマン問題多面体の拡張複雑度は超多項式であり、対称性制約がなくても、多項式サイズの線形計画法では表現不可能である。
• カット多面体と安定集合多面体の拡張複雑度も超多項式であり、これらの問題に対する多項式サイズのLP定式化は不可能である。
• 特定のスラック行列において、非負ランクとPSDランクの間に指数的ギャップが存在し、SDP再定式化が常にLPを効率的に模倣できないことを示している。
• 多面体CUT(n)とCOR(n−1)はアフィン同型であり、それらの間の任意の多面体の拡張複雑度は指数的である。
• カット多面体を含み、関連する多面体に含まれるスペトラヘドロンが存在するが、任意の多項式サイズの線形計画法では良好に近似できない。
• この結果は、P = NPがTSP、Max Cut、Max Stable SetなどのNP困難問題に対して多項式サイズのLP定式化を用いて証明され得ないことを示唆している。