[論文レビュー] Approximations of the domination number of a graph

Glenn G. Chappell, John Gimbel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフにおける支配数 γ(G) の近似について、分数支配数 γf(G) と貪欲支配数 γg(G) を用いて検討する。γg(G)/γf(G) = O(log n) であることを確立し、γ/γf および γg/γ の比が両方とも Θ(log n) であるようなグラフを構成することで、これらの上限が漸近的にタイトであることを証明する。また、γg(G) の二つの上界を比較し、文脈に応じて O(log n) または O(n log δ / δ) の両方が優位であることを示す。

ABSTRACT

Given a graph G, the domination number gamma(G) of G is the minimum order of a set S of vertices such that each vertex not in S is adjacent to some vertex in S. Equivalently, label the vertices from {0, 1} so that the sum over each closed neighborhood is at least one; the minimum value of the sum of all labels, with this restriction, is the domination number. The fractional domination number gamma_f(G) is defined in the same way, except that the vertex labels are chosen from [0, 1]. Given an ordering of the vertex set of G, let gamma_g(G) be the approximation of the domination number by the standard greedy algorithm. Computing the domination number is NP-complete; however, we can bound gamma by these two more easily computed parameters: gamma_f(G) <= gamma(G) <= gamma_g(G). How good are these approximations? Using techniques from the theory of hypergraphs, one can show that, for every graph G of order n, gamma_g(G) / gamma_f(G) = O(log n). On the other hand, we provide examples of graphs for which gamma / gamma_f = Theta(log n) and graphs for which gamma_g / gamma = Theta(log n). Lastly, we use our examples to compare two bounds on gamma_g.

研究の動機と目的

• 貪欲アルゴリズムによる支配数の近似の品質を、γg(G) と γf(G) を用いて分析し、それらを比較すること。
• 既知の γg(G) の上界、特に O(γf(G) log n) および O(n log δ / δ) のタイトネスを特定すること。
• 比 γ/γf および γg/γ が両方とも Θ(log n) に達するような明示的なグラフ族を構成し、境界が漸近的にタイトであることを証明すること。

提案手法

• ハイパーグラフ理論を用いて、γg(G)/γf(G) に対する O(log n) の上界を導出する。
• 確率的技法を適用し、ランダムグラフ Rn が小さな支配集合を持たないことがほとんど確実に成り立つことを示し、これにより無限に多くの n に対して γ(G)/γf(G) = Θ(log n) であることが示される。
• γf(Ht) = γ(Ht) = 4 かつ γg(Ht) = t = Θ(log n) であるような明示的なグラフ Ht を構成し、γg/γ の比が Θ(log n) であることを示す。
• γg(G) の二つの上界を比較する：一つは γf(G) と log n に基づくもの、もう一つは n log δ / δ に基づくものであり、特定のグラフ構成を用いてタイトネスを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 比 γg(G)/γf(G) は O(log n) で抑えられるか？また、この上限は漸近的にタイトか？
• RQ2 γ(G)/γf(G) = Θ(log n) となるようなグラフは存在するか？これにより、分数支配数が支配数の悪い近似であることが示されるか？
• RQ3 貪欲アルゴリズムの性能比 γg(G)/γ(G) が Θ(log n) に達するか？これは、真の支配数を対数的要因で著しく過大評価することを示唆するか？
• RQ4 γg(G) の二つの上界、すなわち O(γf(G) log n) と O(n log δ / δ) のうち、どのグラフ族においてよりタイトか？

主な発見

• 比 γg(G)/γf(G) は O(log n) であり、確率的構成により比が Θ(log n) に達するようなグラフが存在することから、この上限は漸近的にタイトである。
• n 項のグラフ Gn が存在し、γ(Gn)/γf(Gn) = Θ(log n) であることが示され、分数支配数が支配数の悪い近似である可能性があることを証明する。
• 明示的なグラフ Ht において γg(Ht)/γ(Ht) = Θ(log n) であることが構成され、貪欲アルゴリズムが支配数を対数的要因で過大評価することを示す。
• グラフ Ht において、γg(G) ≤ c1 γf(G) log n はタイト（Θ(log n)）である一方、γg(G) ≤ c2 n log δ / δ は緩い（Θ(n)）であるため、前者がこの状況で優位であることが示される。
• 一方、髪の毛がついたクリーク（t-クリークに懸垂頂点を追加したグラフ）では、γg(G) ≤ c2 n log δ / δ はタイト（Θ(n)）であるが、γg(G) ≤ c1 γf(G) log n は緩い（Θ(n log n)）であるため、後者が他の状況では劣っていることが示される。
• 本稿は、γg(G) ≤ c1 γf(G) log n および γg(G) ≤ c2 n log δ / δ の両方の上界が、常に優位であるとは限らないと結論づける。両者のタイトネスはグラフ構造に依存する。