[論文レビュー] APS index theorem for even-dimensional manifolds with non-compact boundary

Maxim Braverman, Pengshuai Shi|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非コンパクト境界をもつ偶数次元多様体に対するアティヤ–パトディ–シンガー（APS）インデックス定理を確立し、コンパクト集合の外で等しい強力なカリアス型作用素の相対エータ不変量を導入する。主な貢献は、この相対エータ不変量の変動を、作用素族のスペクトルフローと、トランスグレッション形式を含む局所微分幾何学的項の和として表す公式を提示することであり、非コンパクトな設定における異常現象の厳密な解析を可能にする。

ABSTRACT

We study the index of the APS boundary value problem for a strongly Callias-type operator $D$ on a complete even dimensional Riemannian manifold $M$ (the odd dimensional case was considered in our previous paper arXiv:1706.06737). We use this index to define the relative $η$-invariant $η(A_1,A_0)$ of two strongly Callias-type operators, which are equal outside of a compact set. Even though in our situation the $η$-invariants of $A_1$ and $A_0$ are not defined, the relative $η$-invariant behaves as if it were the difference $η(A_1)-η(A_0)$. We also define the spectral flow of a family of such operators and use it compute the variation of the relative $η$-invariant.

研究の動機と目的

• 非コンパクト境界をもつ偶数次元完全多様体へのAPSインデックス定理の拡張を図ること。ここで、アティヤ–シンガーの被積分関数が非ゼロであり、重要な役割を果たす。
• コンパクト集合の外で等しい2つの強力なカリアス型作用素に対して、個々のエータ不変量が非コンパクト性のため定義されないにもかかわらず、相対エータ不変量を定義すること。
• 連続的な作用素族に対して、相対エータ不変量の変動を、そのスペクトルフローと関連づけることにより、非コンパクトな設定における位相的不変量を提供すること。
• 非コンパクト時空間、特にローレンツ型または空間的に非コンパクトな幾何構造における、量子場理論における異常現象を記述する数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 強力なカリアス型作用素に対して、ほぼコンパクトな本質的台を持つ概念を導入する。ここで、作用素の平方がコンパクト集合の外で正であり、境界付近で積として表現される。
• 全作用素のAPSインデックスが、ほぼコンパクトな本質的台への制限のAPSインデックスに等しいことを証明し、問題をコンパクト台を持つ設定に還元する。
• 個々のエータ不変量が定義されないにもかかわらず、それらの差に似た振る舞いを示す実数として相対エータ不変量を定義する。
• 連続的な作用素族のスペクトルフローを用いて、相対エータ不変量の変動を計算し、トランスグレッション形式の積分を含む公式を確立する。
• トランスグレッション形式 $\beta_r$ を用いて、縮小された相対エータ不変量の変動を局所的公式として導出する。ここで $\beta_r$ はコンパクト集合の外で消え、$d\beta_r = \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$ を満たす。
• 差 $\eta(\mathcal{A}^1,\mathcal{A}_0) - \eta(\mathcal{A}^0,\mathcal{A}_0)$ を $2\operatorname{sf}(\mathbb{A}) + 2\int_{\partial M'} \left(\int_0^1 \beta_r \, dr\right)$ として表現し、位相的および幾何的データを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アティヤ–シンガーの被積分関数が非ゼロである非コンパクト境界をもつ偶数次元多様体に対して、APSインデックス定理をどのように一般化できるか。
• RQ2 個々のエータ不変量が定義されないにもかかわらず、コンパクト集合の外で等しい2つの強力なカリアス型作用素に対して、相対エータ不変量を定義することは可能か。
• RQ3 連続的な作用素族に対して、相対エータ不変量の変動とそのスペクトルフローの間にはどのような関係があるか。
• RQ4 相対エータ不変量の変動を、トランスグレッション形式のような局所微分幾何学的データの観点からどのように表現できるか。
• RQ5 この枠組みは、非コンパクト時空間における量子場理論の異常現象を記述するために、どの程度応用可能か。

主な発見

• 非コンパクト境界をもつ完全な偶数次元多様体上の強力なカリアス型作用素のAPS境界値問題のインデックスは、ほぼコンパクトな本質的台への制限のインデックスに等しい。
• 相対エータ不変量 $\eta(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_0)$ は、個々の $\eta$-不変量が定義されないにもかかわらず、$\eta(\mathcal{A}_1) - \eta(\mathcal{A}_0)$ に似た振る舞いを示すwell-definedな実数である。
• 連続的な作用素族 $\mathcal{A}^r$ 沿いでの相対エータ不変量の変動は、$\eta(\mathcal{A}^1, \mathcal{A}_0) - \eta(\mathcal{A}^0, \mathcal{A}_0) = 2\operatorname{sf}(\mathbb{A}) + 2\int_{\partial M'} \left(\int_0^1 \beta_r \, dr\right)$ で与えられ、ここで $\operatorname{sf}(\mathbb{A})$ はスペクトルフローである。
• 相対エータ不変量の $\mathbb{Z}$ を法とする還元の微分は $\frac{d}{dr}\bar{\eta}(\mathcal{A}^r, \mathcal{A}_0) = -2\int_{M'} \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$ であり、ストークスの定理により $2\left(\int_{1\times N_1} \beta_r - \int_{N_0} \beta_r\right)$ に簡略化される。
• トランスグレッション形式 $\beta_r$ はコンパクト台を持ち、$d\beta_r = \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$ を満たすため、変動を局所的幾何学的表現で記述可能である。
• この枠組みは、非コンパクト多様体上の量子場理論における異常現象、特にカイラル異常やホラワ–ウイッテン異常を数学的に厳密に研究するための強力なツールを提供する。