[論文レビュー] Arbitrage-Free Pricing of XVA -- Part I: Framework and Explicit Examples

Maxim Bichuch, Agostino Capponi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、資金調達コスト、相手方信用リスク、コラaterル化を考慮した、アービトラージフリーなXVA価格設定フレームワークを、非線形後向き確率微分方程式（BSDE）を用いて開発する。買手XVAおよび売手XVAを境界として導出し、貸出金利と貸付金利が等しい場合の明示的閉形式XVA表現を提示する。これはPiterbarg（2010）の枠組みを早期デフォルトリスクを組み込む形で拡張したものである。

ABSTRACT

We develop a novel framework for computing the total valuation adjustment (XVA) of a European claim accounting for funding costs, counterparty credit risk, and collateralization. Based on no-arbitrage arguments, we derive the nonlinear backward stochastic differential equations (BSDEs) associated with the replicating portfolios of long and short positions in the claim. This leads to the definition of buyer's and seller's XVA which in turn identify a no-arbitrage interval. When borrowing and lending rates coincide we provide a fully explicit expression for the uniquely determined price of XVA, expressed as a percentage of the price of the traded claim, and for the corresponding replication strategies. This extends the result of Piterbarg by incorporating the effect of premature contract termination due to default risk of the trader and of his counterparty.

研究の動機と目的

• 資金スプレッド、相手方信用リスク、コラテラル化を組み込んだ、XVAのアービトラージフリーな評価フレームワークを確立すること。
• トレーダーや相手方が早期に契約を終了するデフォルトによる影響を、デリバティブ価格設定に与える影響をモデル化すること。
• 金利非対称性下でのヨーロピアン・クオンタム取引における、ヘッジポジションの長期および短期ポジションの複製ポートフォリオの非線形BSDEを導出すること。
• 買手XVAおよび売手XVAを、デフォルトおよび資金調達リスク下での市場整合性を保証するアービトラージフリー境界として定義すること。
• 貸出金利と貸付金利が一致する特別な場合に、完全に明示的なXVA式を提示すること。

提案手法

• デフォルトフリーな株式および2つのリスク資産（トレーダーおよび相手方）を含む動的取引フレームワークを定式化し、非対称な資金調達およびレポレートを組み込む。
• 複製ポートフォリオの純資産プロセスを非線形BSDEでモデル化し、資金調達、信用、コラテラルコストを駆動要因とする。
• 割引純資産プロセスが局所マルティンゲールとなるフォワード測度への確率測度の変更を導入し、アービトラージフリー価格設定を可能にする。
• BSDEの比較定理を適用し、買手XVAおよび売手XVAによって定義されるアービトラージフリーな価格帯の存在を確立する。
• マリヤン微分とマルコフ表現を用いて明示的なヘッジ戦略を導出し、Zプロセスを基礎資産価格の関数として表現する。
• 生存集合上での解を時間および株価のマルコフ関数に簡略化し、ヘッジ感応度の取り扱いやすい計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 資金調達コスト、相手方信用リスク、コラテラル化がすべて存在する状況で、XVAをどのようにアービトラージフリーに価格設定できるか。
• RQ2 貸出金利と貸付金利の非対称性が、デリバティブ取引の評価およびヘッジ戦略に与える影響は何か。
• RQ3 トレーダーや相手方が早期にデフォルトするリスクが、XVAおよびそれによるアービトラージフリー境界に与える影響は何か。
• RQ4 一意なXVA価格が存在する条件は何か。その明示的形は何か。
• RQ5 資金調達およびデフォルトリスクが非対称な場合、長期および短期ポジションのヘッジ戦略はどのように異なるか。

主な発見

• 本稿では、アービトラージの不在が、非線形BSDEから導出される買手XVAおよび売手XVAによって定義されるアービトラージフリー価格帯の存在を示している。
• 貸出金利と貸付金利が等しい場合、XVAは一意に定まり、取引対象のクオンタム価格のパcent表記で表現される。これはPiterbarg（2010）の枠組みをデフォルトリスクを含む形に拡張したものである。
• 金利が等しいという仮定の下で、明示的なXVA式が閉形式で導出され、その解はクオンタムのペイオフ、デフォルト強度、資金調達スプレッドに依存する。
• 金利非対称性のため、長期および短期ポジションのヘッジ戦略は非対称であり、解プロセスのマリヤン微分を用いて明示的に与えられる。
• 解プロセスは生存集合上でマルコフ的であるため、価値関数を時間および基礎株価の可測関数として表現可能である。
• BSDEの比較定理により、高いデフォルトリスクまたは資金調達コストは、単一価格の不確実性を反映して、より広いアービトラージフリー価格帯をもたらすことが確認された。