[論文レビュー] Arbitrarily varying and compound classical-quantum channels and a note on quantum zero-error capacities

Igor Bjelaković, Holger Boche+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

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ひとこと要約

本稿では、普遍的仮説検定を用いて、平均誤り確率基準における古典的量子結合チャネルの符号化定理の、より簡素化された証明を提示し、Ahlswedeのロバスト化および除去技術を用いて、任意変動型古典的量子チャネルへと拡張する。ランダム符号化容量の強い逆定理を確立し、一般に量子ゼロエラー容量が任意変動型量子チャネルの決定的強い部分空間伝送容量に等しくないことを示し、自然な予想を反証する。

ABSTRACT

We consider compound as well as arbitrarily varying classical-quantum channel models. For classical-quantum compound channels, we give an elementary proof of the direct part of the coding theorem. A weak converse under average error criterion to this statement is also established. We use this result together with the robustification and elimination technique developed by Ahlswede in order to give an alternative proof of the direct part of the coding theorem for a finite classical-quantum arbitrarily varying channels with the criterion of success being average error probability. Moreover we provide a proof of the strong converse to the random coding capacity in this setting.The notion of symmetrizability for the maximal error probability is defined and it is shown to be both necessary and sufficient for the capacity for message transmission with maximal error probability criterion to equal zero. Finally, it is shown that the connection between zero-error capacity and certain arbitrarily varying channels is, just like in the case of quantum channels, only partially valid for classical-quantum channels.

研究の動機と目的

• 平均誤り確率基準における古典的量子結合チャネルの符号化定理の直接部分について、透明で素朴な証明を提供すること。
• Ahlswedeのロバスト化および除去技術を用いて、結果を任意変動型古典的量子チャネルへと拡張すること。
• 最大誤り基準における強い逆定理への還元により、平均誤り確率基準における弱い逆定理を証明すること。
• 任意変動型量子チャネルのゼロエラー量子容量と、決定的強い部分空間伝送容量との関係を調査すること。
• 量子チャネルのゼロエラー容量が、関連する任意変動型チャネルの決定的強い部分空間伝送容量に等しいという自然な予想を反証すること。

提案手法

• 普遍的仮説検定の結果を用いて、古典的量子結合チャネルの直接符号化定理の素朴な証明を構築し、HayashiとOgawaの手法を一般化する。
• AhlswedeとWolfowitzの補題を用いて、最大誤り基準における強い逆定理への還元により、平均誤り確率基準における弱い逆定理を導出する。
• ロバスト化技術を適用して、結合チャネル符号を最悪のチャネル変動に耐性を持つ符号に変換し、任意変動型チャネルへの適用を可能にする。
• 誤り確率が高くなるチャネルを除去する技術を用い、任意変動型チャネルに対する信頼性の高い符号の構築を可能にする。
• 最大誤り基準における「対称化可能」という概念を導入し、それが任意変動型古典的量子チャネルの容量がゼロであるための必要十分条件であることを証明する。
• ゼロエラー部分空間を保存しないKraus作用素を有する極端な量子チャネルを用いた反例を構築し、ゼロエラー容量と決定的強い部分空間伝送容量の間の等価性を否定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的量子結合チャネルの直接符号化定理は、より単純で透明な方法で証明可能であり、均一に指数的に減少する誤り確率を同時に得られるか？
• RQ2 任意変動型古典的量子チャネルのランダム符号化容量について、平均誤り確率基準において強い逆定理が成り立つか？
• RQ3 任意変動型古典的量子チャネルの容量が最大誤り基準でゼロであるための、対称化可能性条件は必要十分条件か？
• RQ4 量子チャネルのゼロエラー容量と、関連する任意変動型チャネルの決定的強い部分空間伝送容量との間に直接的な対応関係があるか？
• RQ5 極端な量子チャネルを用いて、古典的状況では成り立つゼロエラー容量と任意変動型チャネル容量の類似性が、量子状態では破綻する反例を構築可能か？

主な発見

• 平均誤り確率基準の下で、古典的量子結合チャネルの直接符号化定理が素朴に証明され、均一に指数的に減少する誤り確率が得られた。
• AhlswedeとWolfowitzの補題を用いて、最大誤り基準における強い逆定理への還元により、平均誤り確率基準における弱い逆定理が証明された。
• 任意変動型古典的量子チャネルの容量がゼロであるための対称化可能性条件が、最大誤り基準において必要かつ十分であることが示された。
• ゼロエラー容量がゼロであるが、決定的強い部分空間伝送容量が正である反例が構築され、予想された等価性が否定された。
• 古典的状況では成り立つゼロエラー容量と任意変動型チャネルの関係は、量子系では成立せず、極端なチャネルに対しても同様に成立しないことが示された。