[論文レビュー] Are problems in Quantum Information Theory (un)decidable?

Michael M. Wolf, Toby S. Cubitt+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、モデル理論的道具を用いて、量子情報理論における基本的問題のアルゴリズム的決定可能性を調査する。半代数的問題（例えば、もつれ、可提攜性、ゼロエラー容量）は、タルスキー＝ゼイデンバーグの量化子除去によって決定可能であると示され、一方、漸近的または整数に量化された問題—例えば、保証しきい値の到達可能性や隠れ変数モデルの存在—は、ポストの対応問題や行列の死滅性といった決定不能な語問題への還元により、一般的に決定不能であることが示される。

ABSTRACT

This note is intended to foster a discussion about the extent to which typical problems arising in quantum information theory are algorithmically decidable (in principle rather than in practice). Various problems in the context of entanglement theory and quantum channels turn out to be decidable via quantifier elimination as long as they admit a compact formulation without quantification over integers. For many asymptotically defined properties which have to hold for all or for one integer N, however, effective procedures seem to be difficult if not impossible to find. We review some of the main tools for (dis)proving decidability and apply them to problems in quantum information theory. We find that questions like "can we overcome fidelity 1/2 w.r.t. a two-qubit singlet state?" easily become undecidable. A closer look at such questions might rule out some of the "single-letter" formulas sought in quantum information theory.

研究の動機と目的

• 量子情報理論における中心的問題が、原則的にどの程度アルゴリズム的に決定可能であるかを特定すること。
• 決定可能である可能性のあるツールが存在しても、依然として未解決の問題を特定すること。
• 決定不能性が、量子情報理論における「シングルレター」型の公式の存在に与える影響を検討すること。
• 整数に量化する操作を含まない、コンactな表現が可能かどうかに基づいて問題を分類すること。
• 量化子除去と語問題への還元が、決定可能性または決定不能性を確立するために果たす役割を調査すること。

提案手法

• 半代数的問題にタルスキー＝ゼイデンバーグの量化子除去を適用し、実変数に関する量化子を含む論理式を、量化子を含まない同等の論理式に還元する。
• モデル理論的技法を用いて、もつれ、$n$-可提攜性、隠れ変数モデル、ゼロエラー容量を含む問題の決定可能性を証明する。
• 量子チャネルと状態の重なりを用いた構成により、決定不能な語問題（例えば、ポストの対応問題（PCP）や行列の死滅性）への還元を行う。
• 純粋状態とのトレース重なりが行列積のダイナミクスを符号化するような、量子チャネルと状態を構築する。これにより、語問題への還元が可能になる。
• 行列積のシーケンスをシミュレートするパラメータ化された量子チャネル族 $T_i$ を用い、忠実度の結果が行列積に依存するようにする。
• 指数関数と制限された解析関数を含む実閉体の結果を活用し、基本的な半代数的論理を超えた決定可能性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子情報理論におけるどの問題が、実閉体の理論における量化子除去によって決定可能であるか？
• RQ2 漸近的または整数に量化された問題が、どのような条件下で決定不能になるか？
• RQ3 量子相関に関する局所的隠れ変数モデルの存在が、アルゴリズム的に決定可能か？
• RQ4 与えられた量子状態が、スリングット状態と1/2以上の忠実度を達成できるかどうかを決定できるか？
• RQ5 決定不能性の結果が、量子容量の「シングルレター」型特徴付けの存在をどの程度排除するか？

主な発見

• もつれ検出、$n$-可提攜性、$d$次元量子表現の存在といった問題は、タルスキー＝ゼイデンバーグの量化子除去によって決定可能である。
• $n$-ショットゼロエラー容量と加法的最小出力エントロピーは、半代数的表現として定式化された場合、決定可能である。
• 与えられた量子状態が、2キュービットのスリングット状態と1/2を超える忠実度を達成できるかどうかの問題は決定不能である。
• 決定不能性は、ポストの対応問題（PCP）への還元に起因する：特定のチャネル族に対して、忠実度しきい値への到達可能性を判定することは、決定不能な語問題を解くことに等しい。
• トレース重なり $\mathrm{tr}[\phi T_{i_1} \cdots T_{i_n}(\rho)]$ を符号化する構成が提示され、これにより行列積のダイナミクスへの還元が可能になる。
• 行列の死滅性とPCPの決定不能性から、量子チャネルのシーケンスが特定の忠実度を生成できるかどうかを判定する一般アルゴリズムは存在しないことが示される。