[論文レビュー] Are there arbitrarily long arithmetic progressions in the sequence of twin primes? II

J. Pintz|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、五つの算術関数（$λ(n)$, $λ(n)λ(n+h)$, $λ(p\pm h)\log p$ を含む）に関する一般化されたエリオット＝ハルバースタム型の仮定のもとで、分布レベル $ϑ > 3/4$（または精密化された解析により $ϑ \geq 0.7284$）の仮定のもとで、双子素数列に任意の長さの等差数列が存在することを確立している。主な結果は、期待される密度の定数倍の程度で下界が得られる一般化された双子素数の数に関するものである。

ABSTRACT

We show that if besides the primes some other sequences (involving the Liouville function and the primes) have a common distribution level exceeding 0.7231 then for any positive even integer $h$ there are arbitrarily long arithmetic progressions of primes $p$ such that $p+h$ is also prime for each element of the progression. In case of $h=2$ this means that under some plausible unproved hypotheses about regular distribution of the primes and other sequences in arithmetic progressions we really have arbitrarily long arithmetic progressions in the sequence of twin primes.

研究の動機と目的

• 双子素数列に任意の長さの等差数列が存在するかどうかを調査すること。
• このような数列が存在するための最小の分布レベル $\vartheta$ を特定すること。
• 重み付きエラトステネスのふるい技法を用いて、グリーン＝タオの手法を双子素数のパターンに拡張すること。
• 一般化された双子素数 $p, p+h$ の数に対する下界を、期待されるオーダー $\sim \mathfrak{S}_0(h) N / \log^2 N$ と一致させるものとして確立すること。
• 妥当な仮定のもとで、$\lambda(n)\lambda(n+h)$ および $\lambda(p\pm h)$ の分布に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 重み $b_n = a_n(1 - \lambda(n))(1 - \lambda(n+h))$ を用いた重み付きエラトステネスのふるい法を用い、$a_n = \Lambda_R(n; \mathcal{H}, l)^2$（$\mathcal{H} = \{0, h\}$）として、双子素数ペアを検出する。
• 重みの線形結合 $\Lambda_R(n; \mathcal{H}, 0)$ および $\Lambda_R(n; \mathcal{H}, 1)$ を用いた GPY 法を適用し、双子素数の個数に対する下界を改善する。
• 五つの列 $\log p$, $\lambda(n)$, $\lambda(n)\lambda(n+h)$, $\lambda(p-h)\log p$, $\lambda(p+h)\log p$ に対する分布仮定を課し、レベル $\vartheta > 3/4$ とする。
• エラトステネスのふるい法の誤差項を制御するため、$\lambda(n)$ や関連する乗法的関数に対する指数和の推定とボンビエリ＝ビノグラドフ型の評価を用いる。
• 少なくとも一つの双子素数ペアが $[N, 2N)$ に存在することを保証するための臨界不等式 $P^* - B\log(3N) > 0$ を導出する。この不等式は $\vartheta$ に依存する。
• グリーン＝タオの手法を適応し、分布条件が成立するならば、すべての項 $p$ に対して $p+h \in \mathcal{P}$ を満たす任意の長さの等差数列が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連する算術関数に関する妥当な分布仮定のもとで、双子素数列に任意の長さの等差数列が存在しうるか？
• RQ2 このような数列の存在を保証するための最小の分布レベル $\vartheta$ は何か？
• RQ3 $\vartheta \geq 0.7284$ のもとで、一般化された双子素数 $p, p+h$ の個数に対する $\mathfrak{S}_0(h) N / \log^2 N$ のオーダーの下界は成立するか？
• RQ4 $\lambda(n)\lambda(n+h)$ および $\lambda(p\pm h)$ の分布が十分に制御可能であるか、それによって双子素数のパターンが導かれるか？
• RQ5 分布レベル $\vartheta > 3/4$ の仮定のもとで、グリーン＝タオの手法は一般化された双子素数配置に適用可能か？

主な発見

• 五つの列 (1.4) が分布レベル $\vartheta > 3/4$ を満たすと仮定すれば、任意の固定された偶数 $h > 0$ に対して、$p+h$ も素数であるような素数 $p$ が無限に存在する。
• $\vartheta \geq 0.7284$ のもとで、$p, p+h \leq N$ となる一般化された双子素数の個数は、絶対定数 $c > 0$ を用いて $c \mathfrak{S}_0(h) N / \log^2 N$ で下から抑えられ、期待されるオーダーと定数倍の違いに留まる。
• 重みの線形結合におけるパラメータ $u$ の最適選択により、$g_u(\vartheta)$ の下界が $\vartheta \geq 0.7231$ のとき正となることが示され、これにより定理3の証明が可能になる。
• 本手法により、グリーン＝タオの議論を適応し、$\vartheta \geq 0.7231$ のもとで、すべての項 $p$ に対して $p+h \in \mathcal{P}$ を満たす任意の長さの等差数列が存在することが示される。
• 完全なエリオット＝ハルバースタム予想（$\vartheta = 1$）のもとでも、双子素数の個数における定数因子 $c_3 = 1$ を達成できないことから、現在の手法の限界が示唆される。
• 本証明は、$\lambda(n)$ や関連関数に対するボンビエリ＝ビノグラドフ型の推定を用いて誤差項を制御しており、主な革新点は重み関数における $\lambda(p\pm h)\log p$ の使用にある。