[論文レビュー] Area law in one dimension: Degenerate ground states and Renyi entanglement entropy

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Quantum many-body systems参考文献 17被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、簡約状態が存在する1次元のギャップのある量子系におけるRényi量子もつれエントロピーの面積則を確立する。$ 0 < \alpha < 1 $ に対してRényiエントロピー $ R_\alpha $ が $ \tilde{O}(\alpha^{-3}/\epsilon) $ で有界であることを証明し、任意の基底状態はサブ多項式的結合次元 $ 2^{\tilde{O}(\epsilon^{-1/4}\log^{3/4}n)} $ の行列積状態（MPS）によって近似可能である。これは非簡約基底状態に限らない面積則の結果の拡張である。

ABSTRACT

An area law is proved for the Renyi entanglement entropy of possibly degenerate ground states in one-dimensional gapped quantum systems. Suppose in a chain of $n$ spins the ground states of a local Hamiltonian with energy gap $ε$ are constant-fold degenerate. Then, the Renyi entanglement entropy $R_α(0

研究の動機と目的

• 定数倍の簡約状態を有する1次元のギャップのある量子系へのもつれエントロピーの面積則の拡張を目的とする。
• Rényiもつれエントロピー $ R_\alpha $ が $ 0 < \alpha < 1 $ の場合、このような系においても有界であることを確立すること。
• 任意の簡約基底状態がサブ多項式的結合次元の行列積状態（MPS）によって効率的に近似可能であることを示すこと。
• 相関関数の指数的減衰がRényiエントロピーの面積則を示すかどうかという未解決の問題を、簡約性下でも強固な面積則が成り立つことを証明することで解決すること。
• 1次元のギャップのある系における古典的シミュレーション可能性と基底状態の効率的計算のための技術的基盤を提供すること。

提案手法

• ハミルトニアンの多項式的に有界な関数を用いて構築された、逐次的な近似基底状態射影子（AGSP）の系列を用い、簡約基底状態空間に射影する。
• スプライスギャップが保たれるようにするため、安定性定理（定理2）を適用し、ハミルトニアンの摂動がスペクトルギャップを保存することを保証する。
• 行列積状態表現における再帰的切断スキームを用い、カットごとに誤差が加法的に蓄積されることを保証する。
• Rényiエントロピーが $ \alpha $ に関して単調増加であることを利用し、$ \alpha \to 1^- $ の場合の境界を用いて $ \alpha < 1 $ の場合の結果を導出する。
• 誤差許容度と切断ステップ数、およびスティーフェル係数の減衰率との関係を用いて、近似MPSの結合次元の境界を導出する。
• 基底状態を個々の基底状態に近い状態の重ね合わせに分解し、近似誤差が小さく保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数倍の簡約状態を有する1次元のギャップのある系において、Rényiもつれエントロピーの面積則は成り立つか？
• RQ2 1次元のギャップのある系における簡約基底状態は、サブ多項式的結合次元の行列積状態（MPS）によって効率的に近似可能か？
• RQ3 スペクトルギャップ $ \epsilon $ の関数として、$ 0 < \alpha < 1 $ の場合のRényiもつれエントロピー $ R_\alpha $ は、簡約性が存在する場合でも有界か？
• RQ4 簡約系において相関関数の指数的減衰が見られない場合、Rényiエントロピーの面積則は成立しないのか？
• RQ5 非簡約系に対して用いられる証明技法は、定数倍の簡約性を扱う場合に、もつれと結合次元に関するタイトな境界を保ちながら拡張可能か？

主な発見

• 任意のカットにおける基底状態のRényiもつれエントロピー $ R_\alpha $ は、$ \epsilon $ をスペクトルギャップとして、$ \tilde{O}(\alpha^{-3}/\epsilon) $ で上界が与えられる。
• 任意の簡約基底状態は、結合次元 $ 2^{\tilde{O}(\epsilon^{-1/4}\log^{3/4}n)} $ の行列積状態（MPS）によって近似可能であり、Fidelityは $ 1 - 1/\mathrm{poly}(n) $ に達する。
• 基底状態の数が定数倍である限り、$ R_\alpha $ の境界はその数に依存しない。
• 証明により、有界なRényiもつれエントロピーは、簡約性が存在する場合でも、効率的なMPS表現を示すことがわかった。
• この結果により、1次元のギャップのある系における簡約性を伴うRényiエントロピーの面積則が成り立つことが確認され、ハミルトニアン複雑度論における重要な未解決問題が解決された。
• 解析により、非簡約系に対する標準的な証明技法が、強固なAGSP構成と誤差蓄積の精密制御を用いることで、簡約系に対しても拡張可能であることが示された。