[論文レビュー] Area spectrum of Schwarzschild black hole inspired by noncommutative geometry

Shao-Wen Wei, Yu-Xiao Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、マギョーレの解釈に基づく準正規モードの量子化を用いて、非可換シュワルツシルトブラックホールの面積およびエントロピースペクトルを調査する。両スペクトルが離散的で等間隔であることが示され、従来のシュワルツシルトブラックホールよりも小さな間隔を示し、$ M/\theta^{1/2} $ の比に依存する。大規模な $ M/\theta^{1/2} $ の極限では、標準的なベケンシュタイン＝ホーキングの振る舞いに回復する。

ABSTRACT

It is known that, in the noncommutative Schwarzschild black hole spacetime, the point-like object is replaced by the smeared object, whose mass density is described by a Gaussian distribution of minimal width $\sqrtθ$ with $θ$ the noncommutative parameter. The elimination of the point-like structures makes it quite different from the conventional Schwarzschild black hole. In this paper, we mainly investigate the area spectrum and entropy spectrum for the noncommutative Schwarzschild black hole with $0\leq θ\leq (\frac{M}{1.90412})^{2}$. By the use of the new physical interpretation of the quasinormal modes of black holes presented by Maggiore, we obtain the quantized area spectrum and entropy spectrum with the modified Hod's and Kunstatter's methods, respectively. The results show that: (1) The area spectrum and entropy spectrum are discrete. (2) The spectrum spacings are dependent on the parameter $\frac{M}{\sqrtθ}$. (3) The spacing of the area spectrum of the noncommutative Schwarzschild black hole is smaller than that of the conventional one. So does the spacing of the entropy spectrum. (4) The spectra from the two methods are consistent with each other.

研究の動機と目的

• 点状の特異性を幅 $ \theta^{1/2} $ のガウス分布による広がった質量分布に置き換える非可換シュワルツシルトブラックホールの、量子化された面積およびエントロピースペクトルを調査すること。
• 非可換パラメータ $ \theta $ が従来のシュワルツシルトブラックホールと比較して、面積およびエントロピースペクトルの間隔にどのように影響を与えるかを検討すること。
• 準正規モードに基づく修正されたホードおよびクンスタッターの手法を適用し、準正規モードを調和振動子として物理的に解釈するマギョーレの解釈を用いてスペクトルを導出すること。
• スペクトルが離散的で等間隔であるか、および大規模な $ M/\theta^{1/2} $ の極限で標準的なベケンシュタイン＝ホーキングの結果に収束するかを特定すること。
• 2つの独立した手法からの結果を比較し、それらの間の一貫性を検証すること。

提案手法

• 非可換シュワルツシルトブラックホールは、ディラックのデルタ関数による質量分布を、幅 $ \theta^{1/2} $ のガウス的スミアリング関数 $ \rho_\theta = \frac{M}{(4\theta\tau)^{3/2}} \text{exp}(-r^2/(4\theta)) $ に置き換えることでモデル化され、中心の特異性が消失する。
• このスミアリング質量分布の下で修正されたアインシュタイン方程式からホライズン半径 $ r_h $ が導出され、$ r_h $ は $ M $ と $ \theta $ に依存し、極限状態 $ M/\theta^{1/2} = 1.90412 $ において $ r_h = 1.58732M $ の最小値を示す。
• 準正規モードはマギョーレの方法により解釈され、周波数の実部が調和振動子のエネルギー準位の間隔に対応し、これにより面積およびエントロピーの量子化スペクトルが得られる。
• 修正されたホードの手法では、漸近的準正規周波数 $ \text{Re}(\nu_n) \to \frac{1}{8\theta} \text{Re}(\nu_n) $ を用いて面積スペクトル $ A_n = 8\theta\text{Re}(\nu_n) \to 8\theta\text{Re}(\nu_n) $ を導出し、$ A_n = 8\theta\text{Re}(\nu_n) $ を得る。
• 修正されたクンスタッターの手法では、作用積分にボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件を適用し、$ A_n = 8\theta\text{Re}(\nu_n) $ が得られ、エントロピースペクトルは $ S_n = A_n/4 $ を用いて導出される。
• 解析は $ M/\theta^{1/2} \to \tau $ の極限で実施され、スペクトル間隔が $ M/\theta^{1/2} $ に依存する点を数値的および解析的に取り扱い、従来のケースと比較される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換パラメータ $ \theta $ はシュワルツシルトブラックホールの面積およびエントロピースペクトルにどのように影響を与えるか？
• RQ2 非可換シュワルツシルトブラックホール時空において、面積およびエントロピースペクトルは離散的で等間隔であるか？
• RQ3 非可換ブラックホールのスペクトル間隔は、従来のシュワルツシルトブラックホールと異なるか？ もしそうなら、どのように異なるか？
• RQ4 修正されたホードの手法とクンスタッターの手法は、この文脈で面積およびエントロピースペクトルについて一貫した結果をもたらすか？
• RQ5 非可換ブラックホールスペクトルはどの極限で標準的なベケンシュタイン＝ホーキングの面積則に回復するか？

主な発見

• 非可換シュワルツシルトブラックホールの面積スペクトルは離散的で等間隔であり、間隔 $ \triangle A_\theta = 8\theta\text{Re}(\nu_n) $ を示す。これは、同じ $ M $ と $ \theta $ に対して従来のシュワルツシルトブラックホールの間隔 $ 8\theta\text{Re}(\nu_n) $ よりも小さい。
• エントロピースペクトルも離散的で等間隔であり、間隔 $ \triangle S_\theta = 2\theta\text{Re}(\nu_n) $ を示す。$ \theta $ に同じ依存関係があるため、従来のブラックホールよりも小さい。
• スペクトル間隔は比 $ M/\theta^{1/2} $ に依存し、$ \triangle A_\theta $ および $ \triangle S_\theta $ は $ M/\theta^{1/2} $ とともに単調に増加し、大規模な $ M/\theta^{1/2} $ の極限で標準的なベケンシュタイン＝ホーキングの値 $ 8\theta\text{Re}(\nu_n) $ に近づく。
• $ M/\theta^{1/2} \to \tau $ の場合、修正されたホードおよびクンスタッターの両手法から得られる面積およびエントロピースペクトルは一貫しており、それぞれ $ A_n = 8\theta\text{Re}(\nu_n) $ および $ S_n = 2\theta\text{Re}(\nu_n) $ を得る。
• 大規模な $ M/\theta^{1/2} $ の極限では、非可換ブラックホールスペクトルは標準的なベケンシュタイン＝ホーキングの面積則 $ S = A/4 $ に回復し、従来のブラックホール熱力学と整合性があることが確認される。
• 非可換ブラックホールは、$ M/\theta^{1/2} = 1.90412 $ の極限状態に対応する最小ホライズン半径 $ r_h = 1.58732M $ を示し、$ M/\theta^{1/2} \to \tau $ の場合、ホライズンは従来のシュワルツシルト値 $ r_h = 2M $ に近づく。