[論文レビュー] Arithmetic of the [19,1,1,1,1,1] fibration

Matthias Schuett, Jakob Top|ArXiv.org|Oct 4, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、明示的な多項式 f(t) と g(t) を用いた Weierstrass 方程式によって構成された、ℚ 上の唯一の極大楕円的 K3 表面で、I₁₉ 型の特異ファイバーを持つものについて、算術的性質を調査する。H²(S, ℚℓ) 上のガロア表現理論を用いて、素数を法とするネロン＝セベリランクを計算し、半数の素数に対して ρ(S/𝔽ₚ) = 21 であることを証明し、これは Shioda (1994) の主張（ほとんどすべての p に対して ρ(S/𝔽ₚ) = 20 または 22）と矛盾する。また、p=3 および p=19 における還元において、超越的格子がネロン＝セベリ群の直交補空間と類似しているという Shioda の予想を検証する。

ABSTRACT

This paper studies the arithmetic of the extremal elliptic K3 surface with configuration of singular fibres [19,1,1,1,1,1]. We give a model over Q such that the Neron Severi group is generated by divisors over Q, and we describe the local Hasse-Weil zeta-functions in terms of a modular form of weight 3. Furthermore we verify the Tate conjecture for the reduction at 3 and comment on a conjecture of T. Shioda concerning the similarity of the lattice of transcendental cycles and a lattice resulting from supersingular reduction.

研究の動機と目的

• Artin の理論により、p ≠ 2 の場合に ρ = 22 は不可能であるため、Shioda (1994) の論文で主張された『ほとんどすべての p に対して ρ(S/𝔽ₚ) = 20 または 22』という主張が矛盾することを解消すること。
• ℚ 上の I₁₉ ファイブレーションを持つ K3 表面 S について、ネロン＝セベリランク ρ(S/𝔽ₚ) およびハッセ＝ヴェイル zeta 関数を計算すること。
• p = 3 および p = 19 に対して、ネロン＝セベリ群 NS(S/ℚ) の直交補空間が超越的格子 T_S と類似しているという Shioda の予想が成り立つかを検証すること。
• H²(S, ℚℓ) に対する完全なガロア加群構造を提供し、超越的格子上でのフロベニウスのトレースおよび行列式を明示的に計算可能にする。

提案手法

• 表面 S は、f と g がそれぞれ次数 8 と 12 の多項式である Weierstrass 方程式 y² = x³ - 27f(t)x + 54g(t) で定義される。
• H²(S, ℚℓ) 上のガロア表現は、超越的格子 T_ℓ と 20 個の ℚℓ(1) のコピーに分解され、T_ℓ は 2 次元のガロア表現として実現される。
• 素数 p ≠ 2,3,19 に対して、モジュラー形式を用いて T_ℓ 上のフロベニウスのトレースおよび行列式が計算され、特にレベル 19、重さ 3、二次のネーベントイプスをもつ唯一の新形式が用いられる。
• ℚ(√-19) における素数の分解に応じて、分岐または非分岐の場合に分けて、Z(S/𝔽ₚ, T) が導出され、分解の性質に応じて異なる有理関数が得られる。
• p = 3 および p = 19 において、ネロン＝セベリ群を法 p で生成する明示的な生成元が計算され、直交補空間 L(p) 上の交差形式が T_S と類似していることが示される。
• 証明には高さ対の理論および Néron-Tate 高さの理論が用いられ、ファイバー成分およびセクションを用いた φ(P), φ(Q), φ(R) の明示的計算が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Artin の理論により、p ≠ 2 の場合に ρ = 22 は不可能であるため、Shioda (1994) が『ほとんどすべての p に対して ρ(S/𝔽ₚ) = 20 または 22』と主張することは成り立つか？
• RQ2 ℚ 上の [19,1,1,1,1,1] ファイブレーションに対して、ρ(S/𝔽ₚ) の正確な値は何か？ そして p に依存してどのように変化するか？
• RQ3 p = 3 および p = 19 に対して、Shioda の予想（NS(S/ℚ) の直交補空間が超越的格子 T_S と類似している）は正しいか？
• RQ4 H²(S, ℚℓ) 上のガロア表現を完全に記述することで、zeta 関数およびネロン＝セベリランクを法 p で計算可能か？
• RQ5 超越的格子 T_S の構造は何か？ また、特異的素数での還元において、ネロン＝セベリ群とどのように関係するか？

主な発見

• 密度 1/2 の素数の集合に対して、ネロン＝セベリランク ρ(S/𝔽ₚ) = 21 であることが示され、これは Shioda の主張 [Sh94] と矛盾する。
• ℚ(√-19) において非分岐な素数 p に対して、zeta 関数は Z(S/𝔽ₚ, T) = 1 / [(1-T)(1+pT)(1-pT)^21(1-p²T)] である。
• ℚ(√-19) において分岐する素数 p に対して、zeta 関数は Z(S/𝔽ₚ, T) = 1 / [(1-T)(1-cT+p²T²)(1-pT)^20(1-p²T)] である。ここで c は命題 2.1(2) で定義される。
• p = 3 において、NS(S/ℚ) における NS(S/𝔽₃) の直交補空間 L(3) の交差形式は -3·[[266, -95], [-95, 34]] であり、これは超越的格子 T_S と類似している。
• p = 19 において、格子 L(19) は Θ および (R)-(O)-5F で生成され、交差形式は -[[2, -1], [-1, 10]] であり、これも T_S と類似している。これにより Shioda の予想が検証された。
• 表面 S は ρ(S/ℚ) = 20 をもち、I₁₉ ファイバーの 19 個の成分すべてが ℚ 上に定義されている。これにより、ネロン＝セベリ群が有理数的除算子によって生成されることを確認した。