[論文レビュー] Arithmeticity of the Couwenberg-Heckman-Looijenga lattices

Martin Deraux|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$PU(n,1)$ における Couwenberg-Heckman-Looijenga ラティスの算術性を調査し、既知の Deligne-Mostow の非算術的ラティスと可換な $PU(3,1)$ に属する非算術的ラティスの存在を証明する。さらに、オルビフォールドオイラー特徴標数を計算し、これらのラティスの3次元例について明示的な表示も与える。

ABSTRACT

We study the arithmeticity of the Couwenberg-Heckman-Looijenga lattices in $PU(n,1)$, and show that they contain a non-arithmetic lattice in $PU(3,1)$ which is not commensurable to the non-arithmetic Deligne-Mostow lattice in $PU(3,1)$. We also compute the orbifold Euler characteristic and give explicit presentations for all their 3-dimensional examples.

研究の動機と目的

• PU(n,1) における Couwenberg-Heckman-Looijenga ラティスの算術的または非算術的性質を特定すること。
• PU(3,1) におけるこのようなラティスが非算術的であり、かつ Deligne-Mostow ラティスと可換でないものがあるかどうかを調査すること。
• これらのラティスの3次元例すべてのオルビフォールドオイラー特徴標数を計算すること。
• すべての3次元 Couwenberg-Heckman-Looijenga ラティスについて明示的な群表示を提供すること。

提案手法

• PU(n,1) におけるラティスと関連するモノドロミー表現および幾何構造の分析。
• 可換性クラスおよび算術的性質を特定するための群論的技法の使用。
• 関連する局所的に対称な空間の位相的および代数的不変量を用いた、オルビフォールドオイラー特徴標数の計算。
• ラティス構成からの組合せ的および幾何的データを用いた、群表示の明示的構成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PU(3,1) における Couwenberg-Heckman-Looijenga ラティスは、Deligne-Mostow ラティスと可換でない非算術的例を許容するか？
• RQ2 これらのラティスの3次元例のオルビフォールドオイラー特徴標数は何か？
• RQ3 すべての3次元 Couwenberg-Heckman-Looijenga ラティスについて明示的な群表示を導出可能か？
• RQ4 これらのラティスの算術的性質は、異なる次元においてどのように変化するか？

主な発見

• Deligne-Mostow ラティスと可換でない非算術的ラティスが $PU(3,1)$ に構成された。
• すべての3次元例について、Couwenberg-Heckman-Looijenga ラティスのオルビフォールドオイラー特徴標数が計算された。
• すべての3次元 Couwenberg-Heckman-Looijenga ラティスについて明示的な表示が提供された。
• $PU(3,1)$ におけるラティスが非算術的であり、かつ Deligne-Mostow ラティスとは可換性クラスで異なることが示された。