[論文レビュー] Arnold Diffusion in a priory chaotic Hamiltonian systems

Vassily Gelfreich, Dmitry Turaev|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、通常双曲的で不変な円筒と横断的ホモクライン円筒を有するシンプレクティック写像の一般的な実解析的摂動において、軌道が円筒の境界を結ぶことを確立している。この結果は、事前にカオス的であるハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の形式を確認し、位相空間を横断する軌道の存在を示すことで、安定・不安定多様体を一般摂動を通じて接続する。

ABSTRACT

We assume that a symplectic real-analytic map has an invariant normally hyperbolic cylinder and an associated transverse homoclinic cylinder. It is well known that such cylinder is preserved under small perturbations. We prove that for a generic real- analytic perturbation of this map the boundaries of the cylinder are connected by trajectories of the perturbed map.

研究の動機と目的

• シンプレクティック実解析的写像における不変な通常双曲的円筒の境界を結ぶ軌道の存在を確立すること。
• このような系の一般的な実解析的摂動が位相空間全体にわたる輸送を引き起こすかどうかを調査すること。
• 散乱写像の微分が横断的ホモクライン接続を可能にする条件を満たしていることを確認し、アーノルド拡散を示すこと。
• 解析的カテゴリーを越えて、ほぼ可積分なハミルトニアン系における不安定化メカニズムの理解を拡張すること。
• シンプレクティック幾何学と正規形を用いて、事前にカオス的系におけるアーノルド拡散の一般性を示すフレームワークを提供すること。

提案手法

• 不変な通常双曲的円筒と横断的ホモクライン円筒を有するシンプレクティック実解析的写像を構成する。
• 散乱写像の形式的記述を用いて、円筒周辺の力学を安定多様体・不安定多様体と関連付ける。
• $ H $ という $ C^2 $-滑らかで円筒に接するハミルトニアン関数を定義し、$ H $ が生成するベクトル場が円筒に接することを保証する。
• 正規形技術を用いて円筒周辺の力学を単純化し、散乱写像をシンプレクティック構造とハミルトニアンフローの言語で表現する。
• 円筒上に $ C^1 $-滑らかなハミルトニアン関数 $ h(v) $ を構成し、散乱写像の微分が横断的接続に必要な境界を満たすようにする。
• 陰関数定理と一般性の議論を用いて、一般的な実解析的摂動において、円筒の境界が軌道で接続されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常双曲的円筒を有するシンプレクティック写像の一般的実解析的摂動において、軌道が円筒の境界成分を結ぶことができるか？
• RQ2 事前にカオス的系に横断的ホモクライン円筒が存在する場合、一般摂動のもとでアーノルド拡散が生じるか？
• RQ3 散乱写像にどのような条件が満たされると、円筒の安定多様体と不安定多様体が横断的に交わるか？
• RQ4 シンプレクティックおよび正規形技術を用いて、解析的カテゴリー内での円筒境界を結ぶグローバル軌道の存在を確立できるか？
• RQ5 実解析的摂動のもとで、事前にカオス的ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散は一般現象であるか？

主な発見

• 不変な通常双曲的円筒と横断的ホモクライン円筒を有するシンプレクティック写像の一般的実解析的摂動において、円筒の境界を結ぶ軌道が存在する。
• 散乱写像の微分が安定多様体と不安定多様体の横断的交差を保証する必要十分な境界を満たしており、グローバル輸送を可能にする。
• 関連するベクトル場が必要な不等式を満たすように、明示的に $ C^1 $-滑らかなハミルトニアン関数 $ h(v) $ が構成された。
• この構成はシンプレクティック正規形と散乱写像の $ au $-微分に依拠しており、ハミルトニアンの小規模な $ C^1 $-摂動が所望の性質を保つことを示している。
• この結果は、解析的カテゴリーにおいても、アーノルド拡散が一般に発生することを確認している。これは、系が解析的に可積分でない場合でも同様に成り立つ。
• 証明により、このような接続軌道を生成する初期条件の集合が残渣的（residual）であることが示され、解析的カテゴリーにおける準エルゴド性の考えを支持する。