[論文レビュー] Arrangements of Submanifolds and the Tangent Bundle Complement

Priyavrat Deshpande|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 86被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体内のcodimension-1部分多様体の配置へハイパーサブスペース配置理論を一般化し、接バンドル補集合を位相的不変量として導入する。face categoryの包含関係から構築されたSalvettiセル複体が、この補集合とホモトピー同値であることを証明し、組合せ論的および圏論的道具を用いて、Salvettiの古典的結果をより広い幾何的設定へ拡張する。

ABSTRACT

Drawing parallels with hyperplane arrangements, we develop the theory of arrangements of submanifolds. Given a smooth, finite dimensional, real manifold $X$ we consider a finite collection $\mathcal{A}$ of locally flat, codimension-1 submanifolds that intersect like hyperplanes. To such a collection we associate two combinatorial objects: the face category and the intersection poset. We also associate a topological space to the arrangement called the tangent bundle complement. It is the complement of union of tangent bundles of these submanifolds inside the tangent bundle of the ambient manifold. Our aim is to investigate the relationship between the combinatorics of the arrangement and the topology of the complement. In particular we show that the tangent bundle complement has the homotopy type of a finite cell complex. We generalize the classical theorem of Salvetti for hyperplane arrangements and show that this particular cell complex is completely determined by the face category.

研究の動機と目的

• codimension-1部分多様体の配置に対するハイパーサブスペース配置理論を拡張すること。
• 複素化補集合に類似した位相的不変量としての接バンドル補集合を定義し、その性質を調べること。
• 配置のface categoryから構成されたセル複体と接バンドル補集合との間のホモトピー同値を確立すること。
• 圏論的および分層空間的手法を用いて、Salvettiの構成をこの新しい設定へ一般化すること。
• face categoryとMH-複体構造を通じて、一般化されたアーティン群およびコhomologyとの関係を探索すること。

提案手法

• 局所的にハイパーサブスペースに似た構造を持つ、局所的に平坦なcodimension-1部分多様体の配置を定義し、局所的にハイパーサブスペース配置と類似することを保証する。
• 配置の組合せ的不変量としてface categoryと交差順序集合（intersection poset）を導入する。
• 埋め込み多様体の接バンドル内における部分多様体の接バンドルの和集合の補集合として、接バンドル補集合を構成する。
• d’AntonioとDelucchiによるSalvetti複体の圏論的定式化を用い、face categoryの包含関係からセル複体を構築する。
• 神経補題とセル分層を用いて、Salvetti複体が接バンドル補集合とホモトピー同値であることを証明する。
• Salvetti複体がMH-複体（メトリック・ヘミスフィア複体）であることを示し、ハイパーサブスペース配置からのゾノトープ構造を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分多様体配置の組合せ論が、接バンドル補集合の位相をどの程度制御するか。
• RQ2 ハイパーサブスペース配置を超えて、ハイパーサブスペースに類似した局所構造を持つ部分多様体配置へ、Salvetti複体の構成を一般化できるか。
• RQ3 この一般化された設定において、face categoryが接バンドル補集合のホモトピー型をどのように決定するか。
• RQ4 MH-複体構造と部分多様体配置における補集合の位相との関係は何か。
• RQ5 この枠組みを用いて、一般化されたアーティン群およびその被覆空間をモデル化できるか。

主な発見

• 接バンドル補集合は、有限セル複体とホモトピー同値であり、ハイパーサブスペース配置の古典的結果を一般化する。
• 配置のface categoryに関連するSalvetti複体は、接バンドル補集合とホモトピー同値である。
• Salvetti複体がMH-複体（メトリック・ヘミスフィア複体）であることが示され、ハイパーサブスペース配置からのゾノトープ構造が一般化される。
• Salvetti複体のすべての2セルは、偶数個の辺を持つ向き付けられた多角形と組合せ的に同値である。
• Salvetti複体の1スケルトンはface posetからの距離を保ち、kセル内の辺パスは一様に方向付けられ、同じ長さを持つ。
• 双対写像（ωとω̄）の選択に依存せず、同型な複体が得られる。