[論文レビュー] Arthur Parameters and Cuspidal Automorphic Modules of Classical Groups

Dihua Jiang, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 51被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、古典的群の尖型自己形式的表現に対して、Bessel周期とねじれ自己形式的降下を用いて、一般化された具体的な自己形式的モジュールの構成を、一般化されたグローバル・アーチャー・パラメータの仮定の下で定式化する。この研究は、グローバル・ガン＝グロス＝プラサド予想の一方の包含関係を完全に一般化して証明し、他方の包含関係についてもグローバルな仮定の下で証明する。その際、高度なトレース公式技術とL関数論を活用する。

ABSTRACT

The endoscopic classification via the stable trace formula comparison provides certain character relations between irreducible cuspidal automorphic representations of classical groups and their global Arthur parameters, which are certain automorphic representations of general linear groups. It is a question of J. Arthur and W. Schmid that asks: How to construct concrete modules for irreducible cuspidal automorphic representations of classical groups in term of their global Arthur parameters? In this paper, we formulate a general construction of concrete modules, using Bessel periods, for cuspidal automorphic representations of classical groups with generic global Arthur parameters. Then we establish the theory for orthogonal and unitary groups, based on certain well-expected conjectures. Among the consequences of the theory in this paper is that the global Gan-Gross-Prasad conjecture for those classical groups is proved in full generality in one direction and with a global assumption in the other direction.

研究の動機と目的

• アーティクルとシュミッドが提起した、古典的群の無限小尖型自己形式的表現に対して明示的なモジュールを構成するという問題に応えること。
• F-擬準分裂古典群に限らない一般の古典群へ、自己形式的降下の手法を拡張すること。
• 一般化されたグローバル・アーチャー・パラメータを持つ表現に対して、Bessel周期を用いた具体的なモジュール理論を確立すること。
• グローバル・ガン＝グロス＝プラサド予想の一方の包含関係を完全に一般化して証明し、他方の包含関係をグローバルな仮定の下で証明すること。
• ゼータ積分と降下を介してグローバル・アーチャー・パラメータと自己形式的表現を結ぶ構成的枠組みを提供すること。

提案手法

• Ginzburg-Rallis-Soudryの手法を非擬準分裂古典群へ一般化したねじれ自己形式的降下を導入する。
• Bessel周期を用いて、テンソル積L関数を表すグローバル・ゼータ積分を構成する。
• 安定トレース公式の比較とエンデスコピック分類を用いて、アーチャー・パラメータと自己形式的表現を関連付ける。
• グローバル・ゼータ積分のEuler積分解を用いて、局所L因子と非消滅条件を分析する。
• 局所ゼータ積分の正規化と相互作用作用素の解析を通じて、Bessel周期の逆非消滅性を確立する。
• Conjecture 2.3のような予想的結果に依存し、L関数および相互作用作用素に関する先行研究を、現在の設定へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、古典的群の尖型自己形式的表現のグローバル・アーチャー・パラメータから、明示的な自己形式的モジュールを構成できるか？
• RQ2 Bessel周期の文脈において、ねじれ自己形式的降下の非消滅を保証する条件は何か？
• RQ3 一般化されたアーチャー・パラメータの仮定の下で、グローバル・ガン＝グロス＝プラサド予想は、どの程度古典的群に対して成り立つか？
• RQ4 Bessel周期の文脈において、臨界的で、一般化され、ユニタリな表現の局所相互作用作用素は、どのように振る舞うか？
• RQ5 一般化されたグローバル・ゼータ積分の理論を、一般化されたアーチャー・パラメータを持つ非擬準分裂古典群へ拡張できるか？

主な発見

• 理論により、古典的群に対するグローバル・ガン＝グロス＝プラサド予想の一方の包含関係が完全に一般化して証明された。
• 他方の包含関係は、構築された降下法を用いて、グローバルな仮定の下で確立された。
• 臨界的データに対する局所相互作用作用素の正則性と非消滅性を用いて、Bessel周期の逆非消滅性が確立された。
• 局所ゼータ積分が臨界範囲で非消滅であることが示され、グローバル降下の非消滅性が保証された。
• 与えられた指数の上限の下で、正規化された局所相互作用作用素がRe(s) ≥ 1/2で正則かつ非消滅であることが証明された。
• 標準的予想を仮定した下で、一般化されたグローバル・アーチャー・パラメータを持つすべての古典的群に対して、ねじれ降下による自己形式的モジュールの構成が有効であることが示された。