[論文レビュー] Arthur's multiplicity formula for even orthogonal and unitary groups

Rui Chen, Jialiang Zou|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、数体上の偶数次正規直交群およびユニタリ群の自動的離散スペクトルの一般部分に対してアーチャーの多重度公式を、θ対応を用いて確立し、さらにF-ランクが1以下の群について、完全な離散スペクトルの記述を示している。シムプレクティック群または準分裂ユニタリ群からの表現の持ち上げと、局所的θパケッジが標準的L-パケッジと一致することの証明により、補助的選択に依存しないグローバル分類が達成された。

ABSTRACT

Let G be an even orthogonal or unitary group over a number field. Based on the same observation used in arXiv:1705.10106, we prove the Arthur's multiplicity formula for the generic part of the automorphic discrete spectrum of G by using the theta lift. We also consider a class of non-generic A-parameters and obtain a multiplicity formula in this case. In particular, we obtain a description of the full automorphic discrete spectrum of even orthogonal or unitary groups with Witt index less or equal to one.

研究の動機と目的

• 数体上の偶数次正規直交群およびユニタリ群の自動的離散スペクトルの一般部分に対して、アーチャーの多重度公式を確立すること。
• この結果を、F-ランク ≤ 1 であるようなこれらの群の自動的離散スペクトルの完全な記述へと拡張すること。
• リフト過程で用いられる補助群の選択に依存しない、得られた多重度公式が成立することを証明すること。
• 一般パラメータに対する局所的θパケッジが、標準的L-パケッジと一致することを示し、グローバル分類の主要な局所的要因を検証すること。

提案手法

• より大きなシムプレクティック群または準分裂ユニタリ群から、偶数次正規直交群またはユニタリ群への自動的離散スペクトルの転送に、θ対応を用いる。
• ガーンとイノのグローバル手法を、局所的解析を組み合わせて拡張し、単一のウィット塔による持ち上げの制限を克服する。
• プラサドの予想と帰納的原理を適用し、一般パラメータの広いクラスに対して局所的パケッジの同値性を証明する。
• グローバルな議論を用いて、残りのケースに局所的比較を拡張し、すべての場所で一貫性を保証する。
• 局所体の構造とガロア作用に依存して、離散スペクトル内に十分多くの既約表現を構成する。
• 特性理論的およびガロア不変な構成を用いて、一般A-パラメータに対するθパケッジが標準的L-パケッジと等しいことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θリフト法は、偶数次正規直交群およびユニタリ群の自動的離散スペクトルを完全かつ補助的選択に依存しない形で記述可能か？
• RQ2 一般パラメータに対する局所的θパケッジは、局所ラングランズ対応において標準的L-パケッジと同一視可能か？
• RQ3 リフト過程で用いられる補助群の選択に依存しない、得られた多重度公式が成立するか？
• RQ4 この方法は、特に低F-ランク群に対して、一般部分を超えて完全な離散スペクトルを記述するためにどのように強化可能か？

主な発見

• 本稿は、シムプレクティック群または準分裂ユニタリ群からのθリフトを用いて、数体上の偶数次正規直交群およびユニタリ群の自動的離散スペクトルの一般部分に対して、アーチャーの多重度公式を証明した。
• F-ランク ≤ 1 である群については、同じ持ち上げ法を用いて、完全な自動的離散スペクトルが明示的に記述された。
• 一般A-パラメータに関連する局所的θパケッジが、標準的L-パケッジと一致することが示され、局所ラングランズプログラムにおける重要な予測が確認された。
• 多重度公式は、局所的・グローバルな整合性とガロア不変性により、補助群の選択に依存しないことが検証された。
• p^{d_u} - 1 > n のとき、離散スペクトル内に少なくとも (p^{d_u} - 1)/n 個の異なる既約表現が得られ、スペクトルの豊かさが保証された。