[論文レビュー] Artificial compressibility methods for the incompressible Navier-Stokes equations using lowest-order face-based schemes on polytopal meshes

Riccardo Milani, Jérôme Bonelle+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 74被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、人工圧縮性（AC）時間積分を用いて非定常非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を解くために、多面体メッシュ上での顔ベース最低次ハイブリッドスキームを提案する。この手法は各時間ステップで速度と圧力の更新を分離し、対応する非線形対流項を明示的に取り扱うことで、モノリシックアプローチと比較して計算コストを約50％削減する。一方で、3次元多面体メッシュ上でも速度誤差と圧力誤差の両方で2次精度と最適収束率を維持する。

ABSTRACT

We investigate artificial compressibility (AC) techniques for the time discretization of the incompressible Navier-Stokes equations. The space discretization is based on a lowest-order face-based scheme supporting polytopal meshes, namely discrete velocities are attached to the mesh faces and cells, whereas discrete pressures are attached to the mesh cells. This face-based scheme can be embedded into the framework of hybrid mixed mimetic schemes and gradient schemes, and has close links to the lowest-order version of hybrid high-order methods devised for the steady incompressible Navier-Stokes equations. The AC timestepping uncouples at each time step the velocity update from the pressure update. The performances of this approach are compared against those of the more traditional monolithic approach which maintains the velocity-pressure coupling at each time step. We consider both first-order and second-order time schemes and either an implicit or an explicit treatment of the nonlinear convection term. We investigate numerically the CFL stability restriction resulting from an explicit treatment, both on Cartesian and polytopal meshes. Finally, numerical tests on large 3D polytopal meshes highlight the efficiency of the AC approach and the benefits of using second-order schemes whenever accurate discrete solutions are to be attained.

研究の動機と目的

• 一般の多面体メッシュ上での非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する堅牢で低次の顔ベーススキームの開発。
• 古典的モノリシックアプローチと比較して、人工圧縮性（AC）時間積分の精度と効率の評価。
• 非線形対流項の陰的および陽的取り扱いを含めた1次および2次時間スキームの性能の調査。
• 特にカーテシアンメッシュおよび多面体メッシュにおけるCFL制限を考慮した明示的時間積分の安定性と収束挙動の評価。
• 大規模3次元多面体メッシュ上でのAC法のスケーラビリティと計算効率の実証。

提案手法

• 離散速度をメッシュの面およびセルに定義し、離散圧力をメッシュのセルに定義する最低次顔ベーススキームを採用。これにより、多面体メッシュへの対応が可能となる。
• 人工圧縮性を用いて速度と圧力の更新を分離：まず、勾配・発散安定化項（νη∇∇·u）を含む修正されたストークス型問題により速度を更新し、その後速度の発散を用いて圧力を補正する。
• 1次（後退オイラー）および2次（BDF2）時間離散化を適用し、非線形対流項に対して陽的または陰的取り扱いを実施。
• ハイブリッド混合ミミティックおよび勾配スキームの枠組み内に本手法を実装し、一般の多面体メッシュ上での一貫性と安定性を保証する。
• 精度と計算コストのバランスを図るため、適応的許容誤差制御を施した反復線形ソルバー（GKBおよびCG）を採用。
• 2次ACスキームのためのブートストラップ手順を導入し、中間状態を再構築することで時間精度を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体メッシュ上での非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の時間積分において、人工圧縮性法はモノリシックアプローチと比較して精度と効率でどのように差がつくか？
• RQ2 非線形対流項の陽的・陰的取り扱いが、安定性および計算コストに与える影響、特にCFL制限に及ぼす影響は何か？
• RQ3 AC法を用いた1次および2次時間スキームの速度誤差および圧力誤差の収束率はどの程度か？
• RQ4 明示的時間積分下でのカーテシアンメッシュと多面体メッシュにおけるAC法の性能特性の違いは何か？
• RQ5 2次ACスキームは、計算コストのわずかな増加で、1次スキームと比較して顕著に高い精度を達成できるか？

主な発見

• AC法は、大規模3次元多面体メッシュ上でも、モノリシックアプローチと比較して計算時間を約50％短縮しながら、同等の精度を維持する。
• 2次ACスキームは1次スキームと比較して、速度誤差を3.6倍、圧力誤差を2.3倍低減するが、計算時間は2倍未満にとどまる。
• AC法は、すべてのテストされたスキームおよびメッシュタイプにおいて、L2およびH1ノルムの両方で最適な収束率を維持する。
• 明示的時間積分では、CFL制限がレイノルズ数の逆数に線形に依存し、カーテシアンメッシュと比較して多角形メッシュではわずかに厳しい制限が生じるにとどまる。
• 人工圧縮性パラメータη = 10は、特に1次ACスキームにおいてη = 50よりも計算効率が優れている。
• 2次ACスキームにおけるブートストラップ手順は1時間ステップあたり2回の線形解法を要するが、全体の性能はモノリシックBDF2（1回の解法で済むが全体として著しく高コスト）と比較して依然として優れている。