[論文レビュー] Artin groups of infinite type: trivial centers and acylindical hyperbolicity

Ruth Charney, Rose Morris-Wright|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、定義グラフが星型でない場合、無限型アーティン群の中心が自明であることを確立し、グラフが結合でない場合、その群が非一様双曲的であることを示している。CLIQUE-CUBE複体と下向きリンクの構造を分析することで、帰納的錐構成を用いて、大域的性質を有限型部分群に還元する。この作用により、CAT(0)立方体複体上での作用を用いて、これらの性質を証明している。

ABSTRACT

While finite type Artin groups and right-angled Artin groups are well-understood, little is known about more general Artin groups. In this paper we use the action of an infinite type Artin group $A_Γ$ on a CAT(0) cube complex to prove that $A_Γ$ has trivial center providing the graph $Γ$ is not the star of a single vertex, and is acylindrically hyperbolic providing $Γ$ is not a join.

研究の動機と目的

• 無限型アーティン群の代数的・幾何的性質に関する長年の予想を解決すること、特に自明な中心と非一様双曲的性質について。
• 有限型および右側アーティン群に既知の結果を、より広いクラスの無限型アーティン群へ拡張すること。
• 定義グラフが単一の頂点の星型でない場合、アーティン群の中心が自明であること、およびグラフが結合でない場合、群が非一様双曲的であることの確立。
• アーティン群がCAT(0)立方体複体上で作用することにより、大域的な群論的性質を有限型部分群の局所的性質に還元すること。
• CLIQUE-CUBE複体と下向きリンクを用いた統一的枠組みを提供し、無限型アーティン群におけるねじれのない性質、K(π,1)-予想、自明な中心の証明を可能とすること。

提案手法

• 著者らは、アーティン群 $A_{\Gamma}$ が適切かつ等長的に作用するCLIQUE-CUBE複体 ${\mathcal{C}_{\Gamma}}$ を構成する。
• 頂点 $v = aA_T$ における下向きリンク $dl(v)$ を、$bA_R \subsetneq aA_T$ を満たすすべての頂点 $bA_R$ が生成する部分複体として定義し、無限型部分群に焦点を当てる。
• クライQUE $T$ のサイズに関する帰納法を用い、$A_T$ が無限型のとき $dl(v)$ が可縮であることを示す。これは、より小さい部分群の可縮な下向きリンクを錐化することで達成される。
• $A_T$ が無限型のすべての頂点 $v$ に対して $dl(v)$ が可縮であることは、デリーニュ複体 $\mathcal{D}_{\Gamma}$ が完全なCLIQUE-CUBE複体 $\mathcal{C}_{\Gamma}$ とホモトピー同値であることを示し、$\mathcal{C}_{\Gamma}$ はCAT(0)であるため、可縮である。
• $A_{\Gamma}$ が $\mathcal{C}_{\Gamma}$ 上で作用することにより、幾何的および代数的性質が得られる：固定点の議論により自明な中心、立方体複体上での作用の構造により非一様双曲的性質。
• 大域的予想（例：$K(\pi,1)$-予想、ねじれのない性質）を有限型部分群に還元するには、$\mathcal{D}_{\Gamma}$ のホモトピー型が、各クライQUE $T$ に対する $\mathcal{D}_T$ の可縮性にのみ依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義グラフ $\Gamma$ がどのような条件下で、無限型アーティン群 $A_{\Gamma}$ の中心が自明になるか？
• RQ2 無限型アーティン群 $A_{\Gamma}$ が非一様双曲的であるのはどのようなときか？
• RQ3 $A_{\Gamma}$ に対する $K(\pi,1)$-予想は、$\Gamma$ のクライQUE $T$ に対応する有限型部分群 $A_T$ の場合に還元可能か？
• RQ4 アーティン群 $A_{\Gamma}$ がCAT(0)立方体複体上で作用することにより、ねじれのない性質や自明な中心といった代数的性質をどのように証明できるか？
• RQ5 CLIQUE-CUBE複体における下向きリンク $dl(v)$ は、デリーニュ複体 $\mathcal{D}_{\Gamma}$ のホモトピー的性質を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 定義グラフ $\Gamma$ が単一の頂点の星型でない場合、CAT(0)立方体複体上での固定点の議論により、$A_{\Gamma}$ の中心が自明であることが示された。
• 定義グラフ $\Gamma$ が結合でない場合、CLIQUE-CUBE複体上での幾何的作用により、群 $A_{\Gamma}$ は非一様双曲的であることが確立された。
• $A_{\Gamma}$ に対する $K(\pi,1)$-予想は、すべての有限型部分群 $A_T$ に対して成り立つ場合に成り立つ。なぜなら、$\mathcal{D}_{\Gamma}$ が可縮である完全なCLIQUE-CUBE複体 $\mathcal{C}_{\Gamma}$ とホモトピー同値だからである。
• $A_T$ のすべてに対してねじれがないことから、$A_{\Gamma}$ のねじれのない性質が導かれる。なぜなら、有限位数の元は頂点を固定し、したがってねじれのない部分群 $A_T$ の共役に含まれるからである。
• 任意の頂点 $v = aA_T$（$A_T$ が無限型）における下向きリンク $dl(v)$ は、より小さい可縮リンクを錐化することで帰納的に証明された。
• すべてのクライQUE $T$ に対して $\mathcal{D}_T$ が可縮であるならば、$\mathcal{D}_{\Gamma}$ は可縮である。なぜなら、$\mathcal{D}_{\Gamma}$ は帰納的に可縮な下向きリンクを錐化することで得られるからである。