[論文レビュー] Aspects of $p$-adic operator algebras

Anton Claußnitzer, Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

advanced mathematical theories参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、p進数体の制限積として定義される、Qp(X) と表記されるp進ヒルバート空間の類似物を導入する。これは、Zp-線形な連続位相と、S1 への標準的ペアリングを備えたものであり、ポントリャーギン双対性により自己双対性を示す。連続Zp-線形作用素のバナッハ-*代数 B(Qp(X)) を定義し、そのK理論を計算する：K0(B(Qp(X))) = 0 および K0(K(Qp(X))) = Z であり、商代数におけるべき等元の安定的持ち上げが可能である。これは古典的結果を非アーチメデス的設定に一般化するものである。

ABSTRACT

In this article, we propose a $p$-adic analogue of complex Hilbert space and consider generalizations of some well-known theorems from functional analysis and the basic study of operators on Hilbert spaces. We compute the $K$-theory of the analogue of the algebra of compact operators and the algebra of all bounded operators. This article contains a survey on results from the thesis of the first author.

研究の動機と目的

• 非アーチメデス的設定におけるヒルバート空間および作用素代数のp進類似物を構築すること。
• Qp(X) 上の連続Zp-線形作用素の代数 B(Qp(X)) を定義し、バナッハ-*代数構造を備えたものとして研究すること。
• コンパクト作用素の代数 K(Qp(X)) および全作用素代数 B(Qp(X)) のK理論を計算すること。
• 商代数 B(Qp(X))/K(Qp(X)) からのべき等元が B(Qp(X)) へ持ち上がるかどうかを確立し、アーチメデス的場合の一般化を行うこと。

提案手法

• X を可算集合とするとき、Qp(X) を、すべての x に対して |ξ(x)|p ≤ 1 を満たす関数 ξ: X → Qp のなす制限積として定義する。
• Qp(X) に、局所コンパクトかつσ-コンパクトで、ハウスドルフなZp-位相モジュールとなる位相τを導入し、S1 への値をとる連続ペアリング ⟨·,·⟩: Qp(X) × Qp(X) → S1 を定義する。
• ペアリングを用いて、Qp(X) とその双対空間との間のポントリャーギン双対性による同型を確立し、リース表現の一般化を行う。
• τ-連続なZp-線形作用素のなす代数 B(Qp(X)) を定義し、ノルムと∗-演算を導入して、Zp 上のバナッハ-*代数とする。
• マーラーの定理（Zp → Zp の連続関数に関するもの）を用いて、正規収縮作用素に対する連続的関数計算を導入する。
• 作用素ノルムにおける多項式列のノルム収束を用いた議論により、B(Qp(X))/K(Qp(X)) 内のべき等元が B(Qp(X)) 内のべき等元へ持ち上がる、ことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポントリャーギン双対性のもとで、アーチメデス的場合と同様に自己双対性を示すp進ヒルバート空間の類似物を構成可能か？
• RQ2 このp進ヒルバート空間上でのコンパクト作用素の代数および全有界作用素代数のK理論は何か？
• RQ3 商代数 B(Qp(X))/K(Qp(X)) からのべき等元の持ち上げはp進設定でも成立するか？ もし成立するならば、そのメカニズムは何か？
• RQ4 関数解析学における古典的結果（スペクトル定理や関数計算など）は、非アーチメデス的p進設定においてどのように適応されるか？

主な発見

• コンパクト作用素の理想 K(Qp(X)) のK理論は、Z に同型である。すなわち、K0(K(Qp(X))) ∼= Z である。
• 全有界作用素代数 B(Qp(X)) のK理論は自明である：K0(B(Qp(X))) = 0 である。
• 商代数 B(Qp(X))/K(Qp(X)) 内のすべてのべき等元は、B(Qp(X)) 内のべき等元へ持ち上がる。これは、像の交わりへの射影が存在しないにもかかわらず成立する。
• p進ヒルバート空間 Qp(X) は、S1 への標準的ペアリングを介して、ポントリャーギン双対体と位相的に同型である。
• 代数 B(Qp(X)) は、Zp 上の完備ノルム∗-代数であり、正規収縮作用素に対して連続的関数計算が存在する。
• 特定のべき等元 e と f に対して、作用素ノルムで ∥e − f∥ ≤ 1 が成り立つ。この性質により、K理論の計算における収束議論が可能になる。