[論文レビュー] Associated primes of local cohomology modules of weakly Laskerian modules

Kamran Divaani-Aazar, Амир Мафи|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2005

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、弱Lasker的加群に対するいくつかの条件下で、局所コホロジー加群における関連素イデアルの有限性を確立する。主イデアルであるか、次元 ≤3 である局所環であるか、または dim(R/𝔞)≤1 であるとき、すべての i≥0 に対して H𝔞ⁱ(M) の関連素イデアルが有限であることを証明する。これは、有限生成加群に対する既知の結果を、弱cofiniteおよびスペクトル系列の技法を用いて、より広い弱Lasker的加群のクラスへと拡張するものである。

ABSTRACT

The notion of weakly Laskerian modules was introduced recently by the authors. Let $R$ be a commutative Noetherian ring with identity, $\fa$ an ideal of $R$, and $M$ a weakly Laskerian module. It is shown that if $\fa$ is principal, then the set of associated primes of the local cohomology module $H_{\fa}^i(M)$ is finite for all $i\geq 0$. We also prove that when $R$ is local, then $\Ass_R(H_{\fa}^i(M))$ is finite for all $i\geq 0$ in the following cases: (1) $\dim R\leq 3$, (2) $\dim R/\fa\leq 1$, (3) $M$ is Cohen-Macaulay and for any ideal $\fb$, with $l=\grade(\fb,M)$, $\Hom_R(R/\fb,H_{\fb}^{l+1}(M))$ is weakly Laskerian.

研究の動機と目的

• 有限生成加群から弱Lasker的加群のクラスへ、局所コホロジー加群の関連素イデアルに関する有限性結果を拡張すること。
• 弱Lasker的加群の局所コホロジー加群が有限関連素イデアル集合を持つ条件を調査すること。
• 弱cofinite性の概念を導入し、弱Lasker的加群におけるcofinite性の一般化として研究すること。
• 弱Lasker的加群の文脈において、局所コホロジーの古典的有限性定理の類似を確立すること。

提案手法

• すべての商加群において有限関連素イデアル集合を持つことにより定義される弱Lasker的加群を導入・分析する。
• 局所コホロジー加群における弱cofinite性を定義し、𝔪-cofinite性の概念を一般化する。
• スペクトル系列と完全系列を用いて、局所コホロジー加群を弱Lasker的加群の部分商に関連付ける。
• 弱cofinite性の環の変換原理を用いて、イデアル間で有限性の性質を移動させる。
• 既知の有限生成加群に関する結果を活用し、弱Lasker的性質を介してそれらを拡張する。
• 帰納法およびモジュール論的技法（階数やExt函子を含む）を用いて、関連素イデアルを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱Lasker的R加群Mおよびイデアル𝔞に対して、H𝔞ⁱ(M) の関連素イデアル集合が有限である条件は何か？
• RQ2 局所コホロジーにおける関連素イデアルの有限性は、有限生成加群から弱Lasker的加群へ拡張可能か？
• RQ3 弱cofinite性の概念を用いて、局所コホロジー加群の古典的cofinite性結果を一般化できるか？
• RQ4 R や R/𝔞 の次元は、弱Lasker的加群の局所コホロジーにおける関連素イデアルの有限性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 Cohen-Macaulay加群の性質は、弱Lasker的条件とどのように作用し、局所コホロジーにおける関連素イデアルの有限性を保証するか？

主な発見

• 𝔞 が主イデアルであり、M が弱Lasker的であれば、すべての i≥0 に対して Ass_R(H𝔞ⁱ(M)) は有限である。
• R が次元 ≤3 の局所環であれば、任意の弱Lasker的Mに対して、すべての i≥0 に対して Ass_R(H𝔞ⁱ(M)) は有限である。
• dim(R/𝔞)≤1 であり、R が局所環であれば、任意の弱Lasker的Mに対して、すべての i≥0 に対して Ass_R(H𝔞ⁱ(M)) は有限である。
• 局所環R上のCohen-Macaulay加群Mに対して、grade(𝔟,M)=l を満たすすべてのイデアル𝔟について、Hom_R(R/𝔟, H𝔟^{l+1}(M)) が弱Lasker的であれば、すべての i≥0 に対して Ass_R(H𝔞ⁱ(M)) は有限である。
• 上記の状況において、局所コホロジー加群 H𝔞ⁱ(M) は弱cofiniteであり、関連素イデアルの有限性を示唆する。
• これらの結果は、Brodmann-LashgariおよびHartshorne-Singhの古典的定理を弱Lasker的加群の設定へと一般化する。