[論文レビュー] Assouad dimension influences the box and packing dimensions of orthogonal projections

K. J. Falconer, Jonathan M. Fraser+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

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ひとこと要約

本稿は、アッソワ次元（および関連する準アッソワ次元とアッソワスペクトル）が、直交射影におけるボックス次元とパッキング次元の保存を制御することを確立している。$F \subseteq \mathbb{R}^n$ のアッソワ次元が $m$ 以下であるならば、ほとんどすべての $m$ 次元部分空間への射影においてボックス次元とパッキング次元が保存され、例外的な射影集合の上限が明確に与えられる。

ABSTRACT

We present several applications of the Assouad dimension, and the related quasi-Assouad dimension and Assouad spectrum, to the box and packing dimensions of orthogonal projections of sets. For example, we show that if the (quasi-)Assouad dimension of $F \\subseteq \ n$ is no greater than $m$, then the box and packing dimensions of $F$ are preserved under orthogonal projections onto almost all $m$-dimensional subspaces. We also show that the threshold $m$ for the (quasi-)Assouad dimension is sharp, and bound the dimension of the exceptional set of projections strictly away from the dimension of the Grassmannian.

研究の動機と目的

• ボックス次元とパッキング次元が直交射影によって保存される幾何的条件を特定すること。
• アッソワ型次元が射影における次元の低下を制御する役割を調査すること。
• アッソワ次元、準アッソワ次元、アッソワスペクトル次元に基づいた次元保存の鋭い閾値を確立すること。
• 次元低下が生じる例外的な射影集合のサイズを定量化し、そのハウスドルフ次元がグラスマン多様体の次元より厳密に小さいことを示すこと。
• 既知のハウスドルフ次元保存に関する結果を、次元プロファイルと容量法を用いてボックス次元とパッキング次元へと拡張すること。

提案手法

• ボックス次元とパッキング次元が直交射影下でどのように振る舞うかを分析するために、次元プロファイルと容量に基づく手法を用いる。
• 次元保存の閾値を導出するために、上アッソワスペクトル $\overline{\dim}_{\text{A}}^{\theta}F$ と準アッソワ次元 $\dim_{\text{qA}}F$ を道具として適用する。
• デイティック展開に基づく構成と、制限された数字集合を持つ集合 $X_S$ を用いて、アッソワ次元とボックス次元を制御した例を生成する。
• スケール $2^{-k}$ における立方体被覆を用いて、射影 $\pi_V F$ の被覆推定値を導出する。幾何的および組合せ的推定値を統合する。
• 積集合 $X_S^n$ のアッソワ次元を制御するために、バナッハ密度 $\overline{d}_B(S)$ の概念を用いる。
• 不等式 $\dim_{\text{H}}\{V : \overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F < \cdots\} \leq m(n-m) - (m-s)$ を用いて、例外的射影集合のハウスドルフ次元を上限で評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $F \subseteq \mathbb{R}^n$ が満たすべき条件は何か？ その条件下で、$m$ 次元部分空間への直交射影においてボックス次元とパッキング次元が保存される。
• RQ2 集合 $F$ のアッソワ次元はその射影の次元にどのように影響を与えるか？ また、$m$ は次元保存のための鋭い閾値か？
• RQ3 次元低下が生じる例外的射影集合のハウスドルフ次元の最大値は何か？
• RQ4 アッソワスペクトルまたは準アッソワ次元を用いることで、射影の次元に関する上界と下界を鋭くできるか？
• RQ5 射影定理の文脈において、ハウスドルフ次元に関する既知の結果がボックス次元とパッキング次元へとどの程度拡張可能か？

主な発見

• もし $\dim_{\text{A}}F \leq m$ ならば、ほとんどすべての $V \in G(n,m)$ に対して $\overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F = \overline{\dim}_{\text{B}}F$ かつ $\dim_{\text{P}}\pi_V F = \dim_{\text{P}}F$ が成り立つ。
• アッソワ次元の閾値 $m$ は鋭い：$\dim_{\text{A}}F > m$ ならば、一般的な射影において次元低下が生じる可能性がある。
• $s \in (0,m)$ に対して、$\overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F$ が $\overline{\dim}_{\text{B}}F - \max\{0, \overline{\dim}_{\text{A}}^{\theta}F - s, (\dim_{\text{A}}F - s)(1 - \theta)\}$ よりも小さくなる例外的射影集合のハウスドルフ次元は、$m(n-m) - (m - s)$ 以下である。
• 準アッソワ次元 $\dim_{\text{qA}}F$ が次元保存の閾値を制御する：もし $\dim_{\text{qA}}F \leq m$ ならば、ほとんどすべての $m$ 次元射影においてボックス次元とパッキング次元が保存される。
• アッソワスペクトルおよび準アッソワ次元から導かれる射影の次元に関する上界と下界は、$s = n$ の場合に鋭い。これは既知の上界 (1.2) と一致する。
• 集合 $X_S^n$ を、$\overline{d}(S) = t/n$ および $\overline{d}_B(S) = s/n$ を満たすように構成することで、$\dim_{\text{P}}F = t$、$\dim_{\text{A}}F = s$ であり、$\dim_{\text{B}}\pi_V F \geq d = \frac{mst}{m(s-t) + st}$ を満たす例が得られる。これは導出された上限の鋭さを示している。