[論文レビュー] Assouad-Nagata dimension of locally finite groups and asymptotic cones

J. Higes|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、幾何的群論におけるアッソウド＝ナガタ次元に関する2つの未解決問題を解決する。まず、有限正のアッソウド＝ナガタ次元を持つ局所的有限群の構成により、その次元が無限大でなければならないかどうかを否定的に回答する。また、すべての漸近的コーンが非アーティン的であるが、すべてのコーンが超距離的であるような距離空間の構成により、漸近的極限における次元の挙動に関する疑問に肯定的に答えている。構成手法は、擬似超距離構造を備えた有限群の直和と、積空間における拡大立方体の制御を用いる。

ABSTRACT

In this work we study two problems about Assouad-Nagata dimension: 1) Is there a metric space of non zero Assouad-Nagata dimension such that all of its asymptotic cones are of Assouad-Nagata dimension zero? (Dydak and Higes) 2) Suppose $G$ is a locally finite group with a proper left invariant metric $d_G$. If $\dim_{AN}(G, d_G)>0$, is $\dim_{AN} (G, d_G)$ infinite? (Brodskiy, Dydak and Lang) The first question is answered positively not only for general metric spaces but also for discrete groups with proper left invariant metrics. The second question has a negative solution. We show that for each $n$ there exists a locally finite group of Assouad-Nagata dimension $n$. A generalization to countable groups of arbitrary asymptotic dimension is given

研究の動機と目的

• 文献[11]の質問4.5を解決する。すなわち、正のアッソウド＝ナガタ次元をもつ距離空間が、すべての漸近的コーンの次元が0である可能性があるかどうかを問う。
• 文献[6]の問題5.3に答える。すなわち、正のアッソウド＝ナガタ次元をもつ局所的有限群が、その次元を無限大にしなければならないかどうかを問う。
• 任意の整数 n ≥ 1 に対して、有限で任意のアッソウド＝ナガタ次元 n をもつ可算な局所的有限群の明示的構成を行う。
• 可算群において、漸近的次元と漸近的アッソウド＝ナガタ次元が、有限で任意の差をとることを示す。

提案手法

• 有限n次元群 Z_{k_i}^n の直和として、局所的有限群 G^n を構成する。ここで k_i は増加する。
• 各因子における語距離から生成される擬似超距離 d_G を群に導入し、左不変性を保証する。
• 積空間における拡大立方体の制御により、関数 D(s) = C·s + k の形をとる制御関数を用いて、漸近的アッソウド＝ナガタ次元を制御する。
• 補題4.7および補題4.8を適用し、被覆におけるsスケールの連結成分の直径を評価することで、次元が正確にnであることを証明する。
• 無限次元の場合、G = ⨁_{i=1}^∞ G_i^i とし、G_i^i = Z_{k_i}^i と定義することで、すべてのnに対して asdim_AN(G) ≥ n を示す。
• 混合距離を用いた積群 G^{(n,k)} = Z^n ⊕ G^k を構成し、asdim(G) = n かつ asdim_AN(G) = n+k を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のアッソウド＝ナガタ次元をもつ距離空間が、すべての漸近的コーンの次元が0である可能性はあるか？
• RQ2 局所的有限群が正のアッソウド＝ナガタ次元をもつ（適切な左不変距離に関して）場合、その次元は無限大でなければならないか？
• RQ3 任意の整数 n ≥ 1 に対して、有限で任意のアッソウド＝ナガタ次元 n をもつ可算な局所的有限群を構成できるか？
• RQ4 可算群において、漸近的次元と漸近的アッソウド＝ナガタ次元が、有限で任意の差をとることができるか？
• RQ5 有限の漸近的次元をもつ可算群が、ある適切な左不変距離に関して、有限だが厳密に大きな漸近的アッソウド＝ナガタ次元をとる可能性はあるか？

主な発見

• 任意の n ∈ ℕ に対して、適切な左不変距離 d_n をもつ局所的有限群 G^n が存在し、asdim_AN(G^n, d_n) = n である。
• 構成法は、k_i を増加させ、r_i = floor(k_i/2) とすることで、n次元の拡大立方体の存在を保証する有限n次元群 Z_{k_i}^n の直和を用いる。
• 構成された空間の漸近的コーンはすべて超距離的であり、文献[11]の質問4.5に肯定的に答えている。
• 任意の n および k ∈ ℕ ∪ {∞} に対して、asdim(G^{(n,k)}, d_{(n,k)}) = n かつ asdim_AN(G^{(n,k)}, d_{(n,k)}) = n+k をみたす可算アーベル群 G^{(n,k)} が存在する。
• この結果により、可算群において、漸近的次元と漸近的アッソウド＝ナガタ次元の差が有限で任意に大きくとれることが示された。
• 本論文は、群の漸近的アッソウド＝ナガタ次元が、その有限生成部分群の次元の上限として定義可能である可能性を否定している。