[論文レビュー] Asymmetric and Symmetric Subsystem BCH Codes and Beyond

Salah A. Aly|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 43被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有限体上の非対称および対称サブシステムBCH符号を導入し、量子ビット反転誤りと位相シフト誤りの発生確率が不等である非対称量子チャネルへの量子誤り訂正の拡張を試みる。古典的BCHおよびリード・ソロモン符号を活用することで、明示的なパラメータを持つ非対称量子およびサブシステム符号の族を構築し、非対称Singletonおよびハミング限界を確立し、最適な非対称MDS符号を導出。$T_1 \ll T_2$ 動的特性を示す現実的なノイズ環境下でもその優位性を示している。

ABSTRACT

Recently, the theory of quantum error control codes has been extended to subsystem codes over symmetric and asymmetric quantum channels -- qubit-flip and phase-shift errors may have equal or different probabilities. Previous work in constructing quantum error control codes has focused on code constructions for symmetric quantum channels. In this paper, we develop a theory and establish the connection between asymmetric quantum codes and subsystem codes. We present families of subsystem and asymmetric quantum codes derived, once again, from classical BCH and RS codes over finite fields. Particularly, we derive an interesting asymmetric and symmetric subsystem codes based on classical BCH codes with parameters $[[n,k,r,d]]_q$, $[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$ and $[[n,k',0,d_z/d_x]]_q$ for arbitrary values of code lengths and dimensions. We establish asymmetric Singleton and Hamming bounds on asymmetric quantum and subsystem code parameters; and derive optimal asymmetric MDS subsystem codes. Finally, our constructions are well explained by an illustrative example. This paper is written on the occasion of the 50th anniversary of the discovery of classical BCH codes and their quantum counterparts were derived nearly 10 years ago.

研究の動機と目的

• qubit反転誤りと位相シフト誤りの発生確率が異なる量子チャネルに適した非対称量子誤り制御符号の理論的枠組みを構築すること。
• 有限体上の古典的BCHおよびリード・ソロモン符号を用いて、既存の量子およびサブシステム符号構成法を非対称設定に一般化すること。
• 非対称量子およびサブシステム符号のパラメータを制限する基本的限界（Singletonおよびハミング限界）を確立すること。
• 最適な非対称MDSサブシステム符号を構築し、その存在とパラメータを示すこと。
• 対称量子符号と現実の非対称量子ノイズモデル（特に $T_1 \ll T_2$）とのギャップを埋めること。

提案手法

• Calderbank-Shor-Steane (CSS) 構成法を用い、パラメータ $[n,k_1,d_1]_q$ および $[n,k_2,d_2]_q$ の2つの古典的符号 $C_1$ と $C_2$ を組み合わせて非対称量子符号を構築する。
• $d_x = \min\{\operatorname{wt}(C_1 \setminus C_2^\perp), \operatorname{wt}(C_2 \setminus C_1^\perp)\}$ および $d_z = \max\{\cdots\}$ を定義し、ビット反転誤りと位相誤りのそれぞれの誤り訂正能力を別々に測定する。
• 安定化子形式を用いてパラメータ $[[n,k,r,d_x]]_q$ のサブシステム符号（SSC）およびパラメータ $[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$ の非対称サブシステム符号（ASSC）を導出する。
• 非対称Singleton限界：$k + r \leq n - d_x - d_z + 2$ を非対称サブシステム符号 $[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$ に対して導出し、非対称ハミング限界を純粋な符号に対して導出する。
• 古典的BCHおよびRS符号を用いて、パラメータ $[[n,k,r,d]]_q$、$[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$、および $[[n,k',0,d_z/d_x]]_q$ の明示的な非対称量子およびサブシステム符号の族を構築する。
• すべての非対称サブシステム符号が、双対性および符号分解を介して非対称量子符号の特別な場合として見なせることを示し、逆も同様である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的BCHおよびリード・ソロモン符号を用いて、qubit反転誤りと位相シフト誤りの発生確率が不等である非対称量子誤り訂正符号を構築可能か？
• RQ2 非対称量子およびサブシステム符号のパラメータを制限する基本的限界（Singletonおよびハミング限界）は何か？
• RQ3 最適な非対称MDS符号はどのように構築可能か？また、非対称Singleton限界と等号を満たすか？
• RQ4 非対称量子符号、対称量子符号、サブシステム符号の間には、符号パラメータおよび構造の観点でどのような関係があるか？
• RQ5 サブシステム符号の理論を非対称量子チャネルに一般化可能か？その場合、フォールトトレランス量子計算にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、有限体上の古典的BCHおよびRS符号を基盤として、パラメータ $[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$ の明示的な非対称量子符号の族を構築した。
• 非対称Singleton限界：$k + r \leq n - d_x - d_z + 2$ を確立し、すべての非対称サブシステム符号がこの限界を満たすことを示し、最適な非対称MDS符号がこの限界と等号を満たすことを示した。
• 純粋な非対称サブシステム符号に対して非対称ハミング限界を導出し、$\sum_{j=0}^{\lfloor(d_x-1)/2\rfloor} \binom{n}{j}(q^2-1)^j \leq q^n / (KK')$ を得た。これは量子ハミング限界を一般化したものである。
• すべての非対称量子符号 $[[n,k,d_z/d_x]]_q$ が非対称サブシステム符号 $[[n,k,0,d_z/d_x]]_q$ に等価であり、逆も成り立つことを証明し、両者のクラス間に双対性を確立した。
• 特定の量子BCH符号がLDPC符号でもあることを示し、同じ手法により非対称量子LDPC符号を構築可能であることを示した。
• 非対称サブシステム符号の構築およびパラメータ導出のための具体例を提示し、古典的BCH符号からの導出を示した。